Representaciones del grupo de Lorentz en un número arbitrario de dimensiones de espacio-tiempo $.$

Question

Deje $\mathrm{SO}(1,d-1)^\uparrow$ ser conectado grupo de Lorentz en $d$ dimensiones. Estoy buscando un libro/artículo donde sus finito-dimensional proyectiva representaciones son estudiados en detalle. Sorprendentemente, no he sido capaz de encontrar nada en internet, así que aquí estoy.

Algunos de los temas que me gustaría ver discutido en la bibliografía son:

1. ¿Alguno de los proyectivos representación corresponde a una representación de la vuelta del grupo a $\mathrm{Spin}(1,d-1)$?

2. Es cualquier representación proyectiva descomponible (es decir, puede ser por escrito, hasta similitud, como la suma directa de representaciones irreducibles)?

3. ¿Cómo podemos clasificar todas las representaciones irreducibles? en otras palabras, cuántas etiquetas que necesitamos hacer en el fin de especificar una representación particular? son la mitad enteros? (en $d=4$, tenemos dos etiquetas, cf. el $(m,n)$ de representación, que es $(2m+1)(2n+1)$-dimensional)

4. Puede un objeto cualquiera transformándose de acuerdo a una representación irreducible ser escrito como el producto tensor de spinors? (en $d=4$, un elemento de transformación de acuerdo a las $(m,n)$ de representación puede ser identificado con un objeto llevar a $m$ puntos y $n$ naciones unidas de puntos spinor índices).

5. Cómo hace una gran transformación ($C,P,T$) actúan sobre un objeto cualquiera transformando en virtud de una particular representación proyectiva? (en $d=4$, las fórmulas generales se pueden encontrar por ejemplo en Wightman del PCT).

Cualquier referencia que se ocupa de al menos uno de estos temas serán bienvenidos y apreciados. Idealmente, la mejor referencia de hablar de todos ellos.

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Yo creo que sé la respuesta para el primer y segundo sub-preguntas, pero he incluido todos modos para la integridad (la falta de resultados en las típicas búsquedas de google me sugiere que este post podría terminar siendo el primer resultado cuando un googles "las representaciones de la Lorentz en dimensiones superiores").

Answer 1

Las notas de la conferencia

• Bekaert, X. y Boulanger, N., La central unitaria de las representaciones del grupo de Poincaré en cualquier dimensión espacio-tiempo [arXiv:hep-th/0611263]

son bastante agradable. Yo diría que supone estándar (física) el conocimiento de QFT. Aquí está el resumen:

Un amplio grupo-tratamiento teórico de lineal relativista ecuaciones de onda en el espacio-tiempo de Minkowski de dimensión arbitraria $D>3$ se presenta en estas notas de la conferencia. Para empezar, la correspondencia uno a uno entre lineal de ecuaciones de onda relativistas y unitario de representaciones de la isometría grupo se revisa. A su vez, el método de la inducción de representaciones reduce el problema de la clasificación de las representaciones del grupo de Poincaré $ISO(D−1,1)^\uparrow$ a la clasicación de las representaciones de la estabilidad de los subgrupos sólo. Por lo tanto, un tratamiento exhaustivo de las dos clases más importantes de unitario de representaciones irreducibles, correspondiente a la masiva y partículas sin masa (la última clase de descomponer a su vez en el "helicidad" y el "infinito-spin" representaciones) puede llevarse a cabo a través de la conocida teoría de la representación de la ortogonales grupos $O(n)$ ( $D−3\leq n\leq D−1$ ). Finalmente, covariante ecuaciones de onda son para cada uno de los unitaria representación irreducible del grupo de Poincaré con los no-negativa de masa-cuadrado. Tachyonic representaciones son también examinados. Todos estos pasos están cubiertos en muchos detalles y con ejemplos. Las presentes notas también incluyen un examen de la teoría de la representación de la general lineal y (en)homogénea ortogonal grupo s en términos de los Jóvenes diagramas.

Esta referencia proporciona al menos la respuesta a la OP subquestion (2) [véase la Sección 1.3], y, creo, subquestion (3) [a saber: Jóvenes diagramas, véase la Sección 4.3 en adelante].

Véase también la Sección 3 de

• Vasiliev, M. A., Introducción de mayor tirada teoría de gauge, apuntes para un curso en la Universidad de Utrecht se enseña en la Primavera de 2014 (proyecto, 2015)

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Para los más matemáticamente inclinado lector, las notas de la conferencia

• Van der Prohibición, E., teoría de la Representación y aplicaciones en el clásico de la mecánica cuántica, las conferencias de la resonancia magnética de Primavera de la Escuela de "Mentir a los grupos en el Análisis, la Geometría y la Mecánica' (2006)

ciertamente merecen ser mencionados. Suponiendo que la familiaridad con el análisis, la geometría diferencial y el análisis funcional, esta referencia da una buena y detallada de la matemática el tratamiento del tema. Esto incluye cosas tales como los conceptos básicos de la teoría de la representación, el levantamiento de las repeticiones de (anti)unitario representantes de la cobertura universal [contestador subquestion (1)], el espectro de la teoría de los requisitos previos, inducida por las representaciones y la inversa de la construcción, y las representaciones de semi-directa de productos.

[Yo esperaría que la respuesta detallada a la pregunta (2) para estar aquí en alguna parte, pero no he encontrado al leer el texto.]

Las aplicaciones que se discuten hacia el final, viz. Wigner la clasificación de los unitaria de Poincaré irreps (véase la Sección 12 en adelante), se centran en el caso de $d=4$, pero el debate está todavía muy instructivo.