Ecuación de un seno "inclinado"

Question

Me gustaría saber cuál es la ecuación de un seno "inclinado", que se parece a esto (ni idea de cómo mostrarlo mejor).

Recuerdo haber visto por primera vez esta forma de onda en algún tipo de sintetizador de sonido, donde uno de los mandos para controlar la forma del seno hacía justo lo que estoy buscando: convertir gradualmente el seno en diente de sierra y viceversa.

Intenté usar series de fourier en una onda de diente de sierra, y juntar un par de primeros senos, pero el resultado no tiene esa suavidad.

Answer 1

Se puede observar la derivada de la función y ver que cerca de $0$ la derivada es grande y cerca de la mitad del período, es casi constante. Esto sugiere que la derivada podría ser un coseno elevado a una potencia par menos una constante. La constante tendría que ser elegida para cancelar la integral de la potencia par del coseno sobre un período.

Por ejemplo, $\cos^8\left(\frac x2\right)-\frac{35}{128}$ :

La integral es $\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac7{16}\sin(x)+\frac7{64}\sin(2x)+\frac1{48}\sin(3x)+\frac1{512}\sin(4x)}$ :

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Podemos generalizar esto observando que $$ \cos^{2n}\left(\frac{x}2\right)-\frac1{2^{2n}}\binom{2n}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{\binom{2n}{n-k}}{2^{2n-1}}\cos(kx) $$ Entonces obtenemos que la integral es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{k=1}^n\frac{\binom{2n}{n-k}}{k\,2^{2n-1}}\sin(kx)} $$ El caso ilustrado arriba es $n=4$ .

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Escala por $\frac{2^{2n-1}}{\binom{2n}{n}}$ da que la integral de $$ \frac{2^{2n-1}}{\binom{2n}{n}}\cos^{2n}\left(\frac{x}2\right)-\frac12 $$

es $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\sum_{k=1}^n\frac{\binom{2n}{n-k}}{\binom{2n}{n}}\frac{\sin(kx)}k} $$

que, como $n\to\infty$ , tiende a $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{\sin(kx)}k $$ que es una onda de diente de sierra.

Answer 2

Puedes probar esto:

$$y=\sin \left( x+\dfrac yn \right)$$

Aquí $n \in \mathbb R -\{0\}$ . Positivo $n$ inclinará el gráfico hacia la izquierda, mientras que los negativos $n$ el lado derecho.

Por ejemplo,

Cuando $n=1$ , $y=\sin(x+y)$

Cuando $n=2$ , $y=\sin \left( x+\dfrac {y}{2} \right)$

Cuando $n=10$ , $y=\sin \left( x+\dfrac {y}{10} \right)$

Como $n \to \infty$ , $y=\sin(x)$

Answer 3

En los antiguos generadores de señales, la sección dedicada a producir ondas cuadradas y diente de sierra, se realizaba comúnmente a partir de a tren de impulsos generador, en el que la frecuencia y la duración del pulso (ciclo de trabajo) eran sintonizables.
A partir de ahí, por integración (analógica), y recorte se podría obtener una serie de ondas triangulares y trapezoidales.

El mando de tu sintetizador probablemente actuaba sobre un filtro aplicado a una onda de diente de sierra. A paso bajo (por ejemplo RC o de mayor grado) debería hacer el trabajo.

La salida de un filtro RC simple

viene dada por la ecuación diferencial $$ v_{{\rm in}} (t) - v_{{\rm out}} (t) = RC{d \over {dt}}v_{{\rm out}} (t) $$

Cuando la entrada es una función discontinua, y puesto que estamos interesados en el componente de largo plazo de la salida (el particular solución a la EDO anterior), no es práctico aplicar la ecuación diferencial anterior directamente, y tenemos mejor pasar por expresar la $v(t)$ a través de una serie formal, en la práctica la serie de Fourier.

Una onda de diente de sierra, con ciclo de trabajo $\tau$

$$ v_{{\rm in}} (t) = \left\{ {\matrix{ {2/\tau \,t} & {0 \le t < \tau /2} \cr {{1 \over {1 - \tau }}\left( {1 - 2t} \right)} & {\tau /2 \le t < 1 - \tau } \cr {2/\tau \,\left( {t - 1} \right)} & {1 - \tau /2 \le t < 1} \cr } } \right. $$ que es la integral de un tren de pulsos con el mismo $\tau$ tiene la expansión en serie de Fourier $$ v_{{\rm in}} (t) = {{2\tau } \over {1 - \tau }}\sum\limits_{1\, \le \,n} {{{\sin \left( {\pi n\,\tau } \right)} \over {\left( {\pi n\,\tau } \right)^{\,2} }}\sin \left( {2\pi nt} \right)} $$

Sin recurrir a la representación compleja y a la impedancia, es bastante sencillo introducir un componente genérico de la entrada en la ecuación diferencial y deducir que obtendremos $$ v_{{\rm out}} (t) = {{2\tau } \over {1 - \tau }}\sum\limits_{1\, \le \,n} {{{\sin \left( {\pi n\,\tau } \right)} \over {\left( {\pi n\,\tau } \right)^{\,2} \sqrt {1 + \left( {2\pi nRC} \right)^{\,2} } }}\,\sin \left( {2\pi nt - \arctan \left( {2\pi nRC} \right)} \right)} $$

Limitando la suma a los primeros componentes (10 en este ejemplo) y graficando obtenemos

Por último, un comentario sobre por qué el OP no obtuvo un resultado fluido tomando las primeras componentes de un diente de sierra.
Hacerlo corresponde a aplicar un ideal filtro de paso bajo que no es un dispositivo físicamente realizable.
El filtro RC es, en cambio, un dispositivo físico que, a pesar de no ser perfecto, introduce cierta atenuación y desplazamiento de fase en el dominio de la frecuencia, proporciona la "suavidad" de la señal de salida.
El gráfico siguiente muestra la suma de los primeros $3$ armónicos de un diente de sierra, y el correspondiente primer $3$ armónicos de la salida del filtro RC.

Answer 4

Sugiero tomar

$$\frac1t\tan^{-1}\frac{t\sin x}{1-t\cos x}$$

con $-1\leq t\leq+1$ donde los dos valores extremos de $t$ dan dientes de sierra en direcciones opuestas, y $t=0$ es simplemente una sinusoide. Los valores intermedios de t dan funciones suaves y agradables que se parecen a las "sinusoides cizalladas".

(Cuando $t=0$ exactamente, tomando la fórmula literalmente se obtiene 0/0. El límite como $t\rightarrow0$ es $\sin x$ y para los valores de $t$ muy cerca a 0, puede ser numéricamente mejor tomar algunos términos de la serie que encontrará más adelante bajo el título "Motivación").

Si quiere jugar con esto, puede hacerlo, por ejemplo, yendo a https://www.desmos.com/calculator pegando esta fórmula \frac{1}{t}\arctan \left(\frac{t\sin \left(x\right)}{1-t\ \cos \left(x\right)}\right) y el ajuste del rango permitido en el control deslizante para $t$ a -1..+1.

Aquí están los gráficos para t=0,25, t=0,5, t=0,75 y t=0,95.

Motivación :

Una onda diente de sierra viene dada por $\sum\frac1n\sin nx$ . Así que podríamos querer algo que interpolara entre (1,0,0,...) en 0 y (1,1/2,1/3,...) en 1. Aquí hay una forma obvia de hacerlo: tomar $\sum \frac{t^{n-1}}n\sin nx$ donde $t=0$ para una sinusoide ordinaria y $t=1$ para un diente de sierra.

No es sorprendente que esto tenga una bonita forma cerrada (piensa en el seno como la diferencia de dos exponenciales complejas; entonces nuestra serie es la diferencia de dos logaritmos complejos); resulta ser la fórmula de arriba. (Gracias a Bob Hanlon en los comentarios por suministrar esto; la diferencia entre lo que él escribió y lo que yo tengo arriba se debe a un error en una versión anterior de esta respuesta).

Además de ser la motivación de la respuesta anterior, esta serie puede ser de cierta utilidad práctica. En $t=0$ la fórmula de forma cerrada es singular; cuando $t$ es distinto de cero pero muy pequeño, es posible que sea mejor utilizar numéricamente algunos términos de la serie en lugar de la fórmula de forma cerrada.

Relación con otras respuestas :

Nuestra función se obtiene a partir de un diente de sierra multiplicando los términos de su serie de Fourier por $(\dots,t^2,t^1,t^0,?,t^0,t^1,t^2,\dots)$ . (La serie tiene dos caras; la $\sin nx$ es una combinación de $e^{inx}$ y $e^{-inx}$ que deben multiplicarse por $t^{n-1}$ podemos sustituir el "?" por lo que queramos porque el término constante de la serie de Fourier con la que trabajamos es cero). La multiplicación puntual de series de Fourier es igual a la convolución de funciones. Una elección de ese "?" hace que la función con la que estamos convolucionando sea igual a $2\frac{\cos x-t}{1+t^2-2t\cos x}$ ; tenga en cuenta que cuando $t=0$ esto es sólo una sinusoide y que como $t->\pm1$ se acerca a una función delta. Así que podemos, de hecho, pensar en esto como si empezáramos con una función diente de sierra y aplicáramos un filtro lineal que varía suavemente entre no hacer nada (convolución con una función delta) y suavizar todo en sinusoides perfectas (convolución con una sinusoide).

Answer 5

¡Transformación de Fourier a mano alzada! Primero, dibujamos lo que queremos sobre una función seno real. Dibuja un periodo. Nos damos cuenta de que en ese periodo, la función sinusoidal es primero demasiado baja, luego demasiado alta, luego demasiado baja y luego demasiado alta de nuevo. Eso significa que la diferencia entre lo que tenemos y lo que queremos tiene dos máximos y dos mínimos, algo así como $\sin(2x)$ . Así que añadimos eso.

Esta vez hay que trazar la gráfica para ver qué pasa. Probemos con $\sin(x) + 0.3\sin(2x)$ . Vale, estamos consiguiendo la inclinación que queremos, pero al bajar el gráfico tiene esta extraña cosa ondulada. Volver a la mesa de dibujo.

Ahora dibuja el gráfico que tenías junto con el gráfico que quieres. Al menos cuando yo hice esto, las gráficas se cruzaron varias veces. $6$ para ser exactos, alternando cuál es el más grande y cuál el más pequeño. Así, la diferencia tiene tres máximos y tres mínimos en este periodo, algo así como $\sin(3x)$ . Así que tratamos de añadir eso.

Ahora, con $\sin(x) + 0.3\sin(2x) + 0.65\sin(3x)$ empieza a tener buena pinta. Probablemente puedas retocar un poco los coeficientes aquí para conseguir algo aún mejor. Continúa hasta que estés satisfecho. También puedes añadir términos de mayor frecuencia si quieres, lo que te dará más inclinación. Pero será más difícil calcular exactamente cómo compensar la ondulación de alta frecuencia.

Alternativamente, podrías intentar esbozar la derivada que quieras, y hacer lo mismo con eso, sólo que con cosenos. Las ondas de mayor frecuencia serán más prominentes entonces, y es de esperar que sean más fáciles de corregir.