Límite de una variedad particular de series de productos infinitos

Question

Yo estaba meditando acerca de un determinado límite,

$L = \prod\limits_{n > 0} \bigl(1 - 2^{-n}\bigr)$:

nosotros podemos obligados 0.288 < L < 0.308, que podemos mostrar al tomar el logaritmo:

$\ln(L) = \ln \bigl( \frac{315}{1024}\bigr) + \sum\limits_{n > 4} \ln\bigl(1 - 2^{-n}\bigr) > \ln\bigl(\frac{315}{1024}\bigr) - \sum\limits_{n > 4} 2^{-n} =\; \ln\bigl(\frac{315}{1024} \cdot \mathrm e^{-1/16}\bigr)$.

Me preguntaba si este tipo de producto infinito (o la correspondiente suma de logaritmos) tiene un nombre, y si existen técnicas para la obtención de una expresión de forma cerrada para el límite.

Answer 1

Si desea evaluar la $$\prod_{n=1}^\infty (1-1/2^n)$$ numéricamente usted encontrará que es MUY cerca de

$$2^{1/24}\sqrt{\frac{2\pi}{\log 2}}\exp{(-\pi^2/(6\log 2))}.$$

Que es acerca de 0.2887880950866... Y eso es debido a que $$\exp{(-4\pi^2/\log 2)}$$ es bastante pequeño, de aproximadamente 1.839x10^(-25).

Esto se puede ver en el hecho de que $$\Delta(-1/z) = z^{12}\Delta(z),$$ where $$\Delta(z)$$ es la cúspide de la forma de peso de 12 definidos por

$$\Delta(z)=q\prod_{n=1}^\infty (1-q^n)^{24},$$

donde $$q=e^{2\pi iz}$$ Im(z)>0.

Acaba de poner a $$z=\frac{2\pi i}{\log 2}.$$

Usted puede utilizar esta técnica para acelerar la convergencia de su producto para condiciones distintas de (1/2)^n.

Answer 2

El producto $$\phi (x) = \prod_{n > 0} (1 - x^n)$ $ se llama la función de Euler y se ha estudiado bien. No sé de ninguna manera para calcular valores en puntos especiales. La identidad de Euler se puede utilizar para calcular valores numéricos.

Answer 3

Otro enfoque que confirma la anterior aproximación muy cerca es introducir $$S = \log P = \log \prod_{n\ge 1} \left(1-\frac{1}{2^n}\right) = \sum_{n\ge 1} \log \left(1-\frac{1}{2^n}\right)$$ y observar que esta suma es armónico y puede ser evaluado por la inversión de sus Mellin transformar. Para ello introducir $$S(x) = \sum_{n\ge 1} \log \left(1-\frac{1}{2^{nx}}\right)$$

Recordar que el armónico suma de identidad $$\mathfrak{M}\left(\sum_{k\ge 1} \lambda_k g(\mu_k x);s\right) = \left(\sum_{k\ge 1} \frac{\lambda_k}{\mu_k^s} \right) g^*(s)$$ donde $g^*(s)$ es la transformada de Mellin $g(x).$

En el presente caso tenemos $$\lambda_k = 1, \quad \mu_k = k \quad \text{y} \quad g(x) = \log\left(1-\frac{1}{2^x}\right).$$ Necesitamos la Mellin transformar $g^*(s)$ $g(x)$ que es $$\int_0^\infty \log\left(1-\frac{1}{2^x}\right) x^{s-1} dx.$$ La función de $g(x)$ es de buen comportamiento cerca de cero donde está en el orden de $\log x$ y se desvanece más rápido que cualquier polinomio en el infinito.

Para calcular el Mellin transformar empezar con $$\int_0^\infty \log\left(1-\frac{1}{2^x}\right) x^{m-1} dx = - \int_0^\infty \sum_{q\ge 1} \frac{2^{-qx}}{p} x^{m-1} dx = - \sum_{q\ge 1} \frac{1}{q} \int_0^\infty 2^{-qx} x^{m-1} dx.$$

Observar que $$\int_0^\infty 2^{-qx} x^{m-1} dx = \frac{1}{(p \log 2)^s} \Gamma(s)$$ por una sustitución directa que convierte la integral en una función gamma integral.

Este rendimientos $$g^*(s) = - \sum_{q\ge 1} \frac{1}{q} \frac{1}{(p \log 2)^s} \Gamma(s) = -\frac{1}{(\log 2)^s} \Gamma(s) \sum_{q\ge 1} \frac{1}{q^{s+1}} = -\frac{1}{(\log 2)^s} \Gamma(s) \zeta(s+1).$$

Por la armónica de la suma de identidad ahora tenemos que el Mellin transformar $Q(s)$ $S(x)$ está dado por $$Q(s) = -\frac{1}{(\log 2)^s} \Gamma(s) \zeta(s) \zeta(s+1)$$ con el Mellin de inversión de ser integral $$\frac{1}{2\pi i} \int_{3/2-i\infty}^{3/2+i\infty} Q(s)/x^s ds$$ de la cual evaluamos desplazando a la izquierda por una expansión de alrededor de cero. Afortunadamente los dos zeta función de términos con sus trivial ceros se combinan para cancelar los polos de la función gamma y nos quedamos con solo tres polos y de los residuos. Tenemos $$\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=1) = -\frac{\pi^2}{6x\log 2}.$$ Además $$\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=0) = \frac{1}{2}\left(\log\frac{2\pi}{\log 2}-\log x\right)$$ y, finalmente, $$\mathrm{Res}(Q(s)/x^s; s=-1) = \frac{1}{24} x \log 2.$$ Poner a $x=1$ obtenemos la siguiente aproximación para $S(1):$ $$S(1)\approx \frac{1}{24} \log 2 + \frac{1}{2} \log\frac{2\pi}{\log 2} - \frac{\pi^2}{6\log 2}.$$ Esto es $$-1.2420620948124149457978452979784311762117047031228$$ mientras que el valor exacto es $$-1.2420620948124149457978454818946296689734039782504$$ por lo que esta aproximación es buena para una increíble $25$ dígitos. Esto da para $P$ la aproximación $$P \aprox 2^{1/24} \sqrt{\frac{2\pi}{\log 2}} \exp\left(- \frac{\pi^2}{6\log 2}\right).$$ Esto también es bueno para $25$ dígitos, lo que confirma la observación de que el otro cartel de arriba.