¿Qué Politopos pueden ser inducida por una norma?

Question

Deje $\|\cdot\|:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}_{\ge0}$ ser una norma y definir $B_{\|\cdot\|}(0,1):=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\|x\|\le1\}$ ser el círculo unidad. Para los que regular n-dimensional polytopes (en relación a la norma Euclídea resp. el producto Euclidiano), existe una norma que $B_{\|\cdot\|}(0,1)$ es igual a la polytope dado? Para$n=3$, se puede obtener fácilmente un cubo (ingenio el max norma), y un oktahedra (con $\|\cdot\|_1$), pero podemos encontrar una norma con el círculo unidad de tetraedros? ¿Qué otras formas son posibles?

Se me ocurrió esta pregunta por pura curiosidad, pero estoy bastante despistado cómo abordarla. Así que cualquier idea se agradece.

Answer 1

Deje $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ser cualquier conjunto convexo compacto que es simétrica respecto al origen y contiene un abierto barrio de $0$. Entonces podemos definir el funcional de Minkowski $p_X : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ por $$ p_X(y) = \inf\big\{\lambda \in \mathbb{R}_{> 0} \: : \: \lambda^{-1}y\in X\big\}. $$ Uno fácilmente muestra que $p_X$ es una bien definida la norma en $\mathbb{R}^n$ y $X$ es, precisamente, la bola unidad cerrada de esta norma. (Aquí puedes usar que cualquier barrio de $0$ es de absorción, por lo que siempre existe algo de $\lambda > 0$ tal que $\lambda^{-1}y \in X$ mantiene.)

Por el contrario, vamos a $\lVert\:\cdot\:\rVert$ ser cualquier norma en $\mathbb{R}^n$, entonces se puede probar que la bola unidad cerrada con respecto a esta norma es compacto, convexo y simétrica sobre el origen y contiene un abierto barrio de $0$. (Aquí se necesita que todas las normas en $\mathbb{R}^n$ son equivalentes, es decir, inducir a la misma topología.) Esto nos da una bijective correspondencia entre centralmente simétrica cuerpos en $\mathbb{R}^n$ y las normas sobre el $\mathbb{R}^n$.

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Para responder a su pregunta: básicamente, cualquier forma es posible, siempre y cuando no hay ninguna razón obvia por la que no debería ser. Específicamente, cualquier polytope puede ser realizada como (traducción de) la bola unidad cerrada de alguna norma si y sólo si cumple con los siguientes criterios:

• Es simétrica alrededor de su centro;
• Es convexa;
• Está lleno-dimensional (no contenidas en algunos afín hyperplane);
• Es limitado.

Aquí me implícitamente el uso de las siguientes propiedades que son intuitivamente claro, pero, no obstante, requieren algún tipo de prueba.

Proposición 1. Un conjunto convexo $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ha vacío interior si, y sólo si se encuentra en algunas afín hyperplane.

Una prueba de esta propuesta se puede encontrar en las Matemáticas de Intercambio de la Pila y en otros lugares en el internet.

Proposición 2. Deje $X \subseteq \mathbb{R}^n$ ser un conjunto que cumple con todos los cuatro de los criterios anteriores. A continuación, $X$ contiene un abierto de vecindad de su centro.

Croquis de la prueba. Para ello podemos utilizar que el interior de un conjunto convexo es de nuevo convexo. Suponer sin pérdida de generalidad que el centro de la $X$ es el origen (traducir si es necesario). Desde $X$ contiene un abierto barrio de algunos $x\in X$, por la simetría también contiene un abierto barrio de $-x$ (se puede reflejar todo abierto en el barrio de origen). Por lo tanto, $x$ $-x$ son los puntos del interior. Desde $\text{Int}(X)$ es convexo, se deduce que el $0\in\text{Int}(X)$ mantiene así.$\hspace{2mm}\blacksquare$

Por último, he utilizado las siguientes hipótesis:

De la asunción. Polytopes ya están cerradas para empezar (por la mayoría de las definiciones que son).

Answer 2

Actualización: Me habia olvidado un punto esencial; ver los comentarios a mi respuesta.

Que $B\subset{\mathbb R}^n$ ser cualquier conjunto compacto convexo que es simétrico al origen: $-B=B$, y tiene interior no vacío. $$\|x\|:=\inf\{\lambda\geq0\>|\>x\in\lambda B\}$ $ Es una norma en ${\mathbb R}^n$ tener $B$ como bola de la unidad cerrada.

Answer 3

\begin{equation} g(x,y):=\max\left(\frac{|x+y|}{\sqrt{2}},\frac{|x-y|}{\sqrt{2}}\right)+\max(|x|,|y|)=1 \end{equation} da un octágono en $\mathbb{R}^2$, pero no estoy seguro si es una norma...