La comprensión de la idea de un Punto Límite (Topología)

Question

He adjuntado una imagen de cómo estaba la visualización de un punto límite, pero estoy ahora no estoy tan seguro de que yo he entendido el concepto correctamente después de intentar extraer realmente lo que estaba visualizando.

Voy a mencionar la definición de Barrio y Punto Límite de Rudin del Análisis sólo para refrescar la memoria:

Definiciones

Deje $X$ ser un espacio métrico. Todos los puntos y conjuntos mencionados a continuación, se entienden como elementos y subconjuntos de a $X$. Un barrio de $p$ es un conjunto $N_{r}(p)$ que consta de todos los $q$ tal que $d(p,q)<r$, para algunas de las $r>0$. Un punto de $p$ es un punto límite de la set $E$ si todos los barrios de $p$ contiene un punto de $q \neq p$ tal que $q \in E$

Me he topado con un obstáculo la comprensión de los límites, de cierre, y en el interior de halfspaces delimitada por hyperplanes, y creo que corre de vuelta a mi incomprensión del punto límite. Aquí es la figura que he creado:

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EDITAR: Nueva figura para un punto límite $p$ Por favor, hágamelo saber si esto es más preciso!

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Me estoy imaginando esto como sucede en el "infinitesimal", así, por ejemplo, $r_{1}$ no es realmente tan grande como se muestra en la figura. Las tres operaciones generales me imagino que ocurren son:

$$d(r_{n},r_{n-1}) \rightarrow 0$$ $$\forall r \in \mathbb{R}, \exists q \in E \text{ }|\text{ } d(p,q_{n})<r_{n}, n \in \mathbb{N}$$ $$d(p,q_{1}) \rightarrow 0$$

Así que creo que de todos los barrios alrededor del punto de $p$ como círculos de expansión de la radio, y tienen la condición de que debe haber algo de $q \neq p$ donde $q \in N_{r}(p)$ y creo que de esto como una condición para cada radio. Es este un overcomplication? Me di cuenta de que para decir que algunos de los $r_{1}$ que si existe un $q \in E$, de modo que $d(p,q) < r_{1}$, entonces para cualquier $r_{i} > r_{1}$, el mismo punto de $q$ que trabajó para el barrio de $N_{r_{1}}(p)$ va a trabajar para el barrio de $N_{r_{i}}(p)$. Así, estas tres operaciones tipo de restricciones adicionales sobre la situación de la que no añaden información relevante?

Pregunta Principal

Mi problema ahora, asumiendo que la condición es que para todos los $r \in \mathbb{R}$, hay algunos $q \in E$, de modo que $d(p,q) < r$, para un arbitrariamente pequeño $r>0$, entonces ¿cómo puedo visualizar esto? Cómo pueden dos puntos de $p$ $q$ donde $p \neq q$ realidad distinta cuando puedo reducir mi radio arbitrariamente pequeño? Si alguien me pudiera dar un ejemplo concreto o una explicación de donde me salió mal/lo podría aclarar las cosas para que me sería muy útil.

Gracias!

Answer 1

El problema parece ser que tienes el cuantificadores hacia atrás. No es que no hay una sola $q\in E$ tal que $d(p,q)<r$ arbitrariamente pequeño $r$. Más bien, para cada uno positivo $r$, no importa lo pequeño que sea, hay un $q\in E$ tal que $d(p,q)<r$. La elección de $q$ depende de $r$. En símbolos, esto es la diferencia entre

$$\exists q\in E\setminus\{p\}\;\forall r>0 (d(p,q)<r$$ and $$\forall r>0\;\exists q\in E\setminus\{p\}(d(p,q)<r\;.$$

Para un ejemplo sencillo, vamos $$E=\left\{\frac1n:n\in\mathbb{Z}^+\right\}\;,$$ and let $p=0$. For $r=0.1$, you can take for $p$ any $1/n$ with $n>10$. With $r=0.01$, on the other hand, you'll need to choose a $1/n$ with $n>100$. Y así sucesivamente.

También me gustaría decir que tu foto es de adentro hacia fuera: se debe pensar en los círculos de la disminución de la radio apretando más y más a $p$. A continuación, $p$ es un punto límite de $E$ si dentro de cada uno de los círculos, no importa qué tan cerca de $p$, existe al menos un punto de $E$ diferente de la $p$ sí.

Añadió:

Ahora vamos a echar un vistazo a sus tres generales de operaciones'.

$$d(r_{n},r_{n-1}) \to 0$$

Si usted elige una secuencia $\langle r_n:n\in\mathbb{N}\rangle$ convergentes a $0$, entonces se convierte automáticamente en el caso de que $d(r_{n},r_{n-1}) \to 0$$n\to\infty$, pero este es un efecto secundario, no es algo que se debe enfocar. Lo importante es que las $r_n\to 0$$n\to\infty$; si ese es el caso, y si para cada una de las $n\in\mathbb{N}$ $q_n\in E$ tal que $q_n\ne p$$d(p,q_n)<r_n$, $p$ es un punto límite de $E$.

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$$\forall r \in \mathbb{R} \exists q \in E \big(d(p,q_{n})<r_{n}, n \in \mathbb{N}\big)$$

Como está escrito, esto no tiene sentido: ¿cómo son las únicas $r$ $q$ en los cuantificadores relacionados con la $r_n$ $q_n$ en el cuantificados declaración? Usted podría escribir correctamente cualquiera de los siguientes, ya que todos ellos dicen que $p$ es un punto límite de $E$:

$$\begin{align*} &\forall r>0 \exists q(r)\in E\big(q(r)\ne p\text{ and }d(p,q(r))<r\big)\\ &\forall n\in\mathbb{Z}^+\exists q_n\in E\left(q(r)\ne p\text{ and }d(p,q_n)<\frac1n\right)\\ &\forall n\in\mathbb{N}\exists q_n\in E\left(q(r)\ne p\text{ and }d(p,q_n) < \frac1{2^n}\right) \end{align*}$$

De hecho, si $\langle r_n:n\in\mathbb{N}\rangle$ es cualquier secuencia de los números reales positivos convergente a $0$, usted podría tomar

$$\forall n\in\mathbb{N}\exists q_n\in E\big(q(r)\ne p\text{ and }d(p,q_n) < r_n\big)$$

como su definición de '$p$ es un punto límite de $E$'.

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$$d(p,q_{1}) \to 0$$

Como está escrito, esto no tiene ningún sentido, ya que el $p$ $q_1$ son solteros, puntos fijos: no hay ninguna secuencia de aquí. Did you mean $d(p,q_n)\to 0$? Eso no es suficiente, tal y como está, porque no dice nada acerca de la naturaleza de la $q_n$. Lo que sí funciona es este:

Un punto de $p$ es un punto límite de un conjunto $E$ si y sólo si existe una secuencia $\langle q_n:n\in\mathbb{N}\rangle$ de los puntos de $E\setminus\{p\}$ tal que $d(p,q_n)\to 0$$n\to\infty$.

(Por supuesto, esto supone que hay una métrica $d$; esta definición no funciona para espacios topológicos en general).