¿$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$ Es convergente?

Question

¿Es convergente la serie siguiente?

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$$

Creo que la serie anterior es divergente, desde

$$\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{1}{\sqrt 2+1}-\frac{1}{\sqrt 3-1}+\frac{1}{\sqrt 4+1}-\frac{1}{\sqrt 5-1}+\dots\geq$$ $$\frac{-2}{(\sqrt 3-1)^2}+\frac{-2}{(\sqrt 5-1)^2}+\dots=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{-2}{(\sqrt n-1)^2}$$

Y la última serie es divergente. ¿Mi argumento es correcto? Gracias.

Answer 1

La serie diverge desde

$$\sum_{n=2}^m \frac{(-1)^n}{\sqrt{n} + (-1)^n} = \sum_{n=2}^m \frac{(-1)^n(\sqrt{n} - (-1)^n)}{n - 1} \\ = \sum_{n=2}^m \frac{(-1)^n\sqrt{n}}{n - 1} - \sum_{n=2}^m \frac{1}{n - 1}, $$

con la primera serie de la convergente de RHS por Dirichlet y la segunda una serie armónica divergente.

Answer 2

¡No!. Cuando cambia el signo del término general, no podemos usar la prueba de comparación.

Dan de la expansión de Taylor,

$$u_n=$$ $$\frac {(-1)^n}{\sqrt {n}}\Bigl(1-\frac {(-1)^n}{\sqrt {n}}+\frac {1}{n}(1+\epsilon (n)\Bigr) $$

$$=\frac {(-1)^n}{\sqrt {n}}-\frac {1}{n}+\frac {(-1)^n}{n\sqrt {n}}(1+\epsilon (n)) $$ $$=v_n+w_n+t_n $$

con

$\sum v_n$ convergente como alernate.

$\sum w_n $ divergentes y $\sum t_n$ absolutamente convergentes causa %#% $ #%

Concluimos que el $$|t_n|\sim \frac {1}{n^\frac 32} $ es divergente.