Equivalencia de un sistema de ecuaciones no lineales

Question

Sea $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ sea una matriz semidefinida positiva, $b\in\mathbb{R}^n$ , $k>0$ y $g:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ sea una función positiva. Consideremos el sistema de ecuaciones no lineales $$ (1) \quad Ax=-k\frac{x}{g(x)}-b. $$ Sea $A^+$ sea el pseudoinverso de Moore-Penrose de $A$ . Para cada $q\in\mathbb{R}^n$ consideremos el sistema de ecuaciones no lineales $$ (2)\quad x=-kA^+\frac{x}{g(x)}-A^+b+(I-A^+A)q. $$ Encuentre $q\in\mathbb{R}^n$ tal que (1) es equivalente a (2).

Mi intento

1) Obsérvese que si $A$ es no singular, entonces (1) es equivalente a (2) para todo $q\in\mathbb{R}^n$ . En efecto, puesto que $A$ es no singular, $A^+=A^{-1}$ por lo que (2) se reescribe como
$$ x=-kA^{-1}\frac{x}{g(x)}-A^{-1}b+(I-A^{-1}A)q $$ que es equivalente a (1).

2) Para cada solución $x$ de (1) existe $q\in\mathbb{R}^n$ tal que $x$ es el conjunto de soluciones de (2). En efecto, supongamos que $x$ es una solución de (1). Entonces $$ Ax=-k\frac{x}{g(x)}-b. $$ Multiplicando ambos lados de la ecuación anterior por $AA^+$ obtenemos $$ AA^+Ax=-AA^+k\frac{x}{g(x)}-AA^+b. $$ Desde $AA^+A=A$ la ecuación anterior se reescribe como $$ A\left(x+kA^+\frac{x}{g(x)}+A^+b\right)=0. $$ Por lo tanto, existe $q\in\mathbb{R}^n$ tal que $$ x+kA^+\frac{x}{g(x)}+A^+b=(I-A^+A)q $$ o $$ x=-kA^+\frac{x}{g(x)}-A^+b+(I-A^+A)q. $$ Por lo tanto, $x$ es la solución de (2).

Gracias por su amable ayuda y sus comentarios.

Answer 1

1. Podemos suponer que $A=D=diag((\lambda_i)_i)$ donde $\lambda_i\geq 0$ . De hecho $A=PDP^T$ donde $P$ es ortogonal, y sea $x=Py,b=Pc$ . Entonces la ecuación (1) se puede reescribir $Dy=-ky/g(Py)-c=-ky/h(y)-c$ donde $h>0$ .

En la secuela $A=D$ y, en consecuencia, para cada $i$ , $x_i=\dfrac{-b_i}{\lambda_i+k/g(x)}$ . Tenga en cuenta que $D^+=diag((\mu_i)_i)$ donde $\mu_i=1/\lambda_i$ si $\lambda_i\not=0$ y $\mu_i=0$ si $\lambda_i=0$ .

2. Consideremos la ecuación (2). Cuando $\lambda_i\not=0$ obtenemos las mismas relaciones que en la ecuación (1) y $q_i$ es arbitraria. Cuando $\lambda_i$ =0, obtenemos $x_i=q_i$ es decir $q_i=\dfrac{-b_i}{\lambda_i+k/g(x)}$ . En particular, $q_i$ depende de $x$ lo que implica que la ecuación (2) es muy complicada.