Si es constante el $|f|+|g|$$D,$ demostrar que holomorphic funciones $f,~g$ son constantes en $D$.

Question

Deje $D\subseteq \mathbb{C}$ ser abierto y conectado y $f,~g:D \rightarrow \mathbb{C}$ holomorphic funciones que $|f|+|g|$ es constante en $D.$ Demostrar que $f,~g$ son constantes en $D.$

El intento. Me di cuenta primero de que este problema ya se ha establecido antes, y se considera para ser duplicado (Si $|f|+|g|$ es constante, entonces cada una de las $f, g$ es constante) y se nos envía directamente al problema de la suma de holomorphic funciones. Sin embargo, la última referencia que se trata con la suma de $|f|^2+|g|^2$, que no veo cómo está conectado a la suma de $|f|+|g|$, como se indica en el título (por ejemplo, la igualdad de $|f|^2+|g|^2=(|f|+|g|)^2-2|f||g|$ no es útil aquí).

Gracias de antemano!

Answer 1

Aquí es una prueba que se basa en gran medida en la asignación abierta teorema.

Desde los ceros de $f,g,f',g'$ son aislados, podemos encontrar algunos de $z_0$ tal que $f,g,f',g'$ no son cero en un barrio de $z_0$.

Supongamos $z$ se encuentra en este barrio de $z_0$.

Si dejamos $\phi(t) = {1 \over 2}|f(z+th)|$, es sencillo demostrar que $\phi'(0) = { \operatorname{re}(\overline{f(z)} f'(z) h ) \over |f(z)|}$, por lo tanto, ya $|f(z)| + |g(z)|$ es constante obtenemos \begin{eqnarray} { \operatorname{re}(\overline{f(z)} f'(z) h ) \over |f(z)|} + { \operatorname{re}(\overline{g(z)} g'(z) h ) \over |g(z)|} &=& \operatorname{re} \left[ ( { \overline{f(z)} f'(z) \over |f(z)|} + { \overline{g(z)} g'(z) \over |g(z)|} ) h\right] \\ &=& \operatorname{re} \left[ ( { \overline{f(z)} f'(z) \over |f(z)|} + { \overline{g(z)} g'(z) \over |g(z)|} ) h\right] \\ &=& 0 \end{eqnarray} para todos los $h$.

Por lo tanto, tenemos ${ \overline{f(z)} f'(z) \over |f(z)|} + { \overline{g(z)} g'(z) \over |g(z)|} = 0$, por lo que ${f'(z) \over g'(z)} = -{|f(z)| \over \overline{f(z)} } {\overline{g(z)} \over |g(z)|}$, en particular, $| {f'(z) \over g'(z)}| = 1$. Por lo tanto ${f'(z) \over g'(z)} = c$ para algunas constante y así ${g(z) \over f(z)} = - \overline{c} | {g(z) \over f(z)} | $. Por lo tanto los valores de $z \mapsto {g(z) \over f(z)}$ es de mentira en la línea $\{t \overline{c} \}_{t \in \mathbb{R}}$ y por lo tanto debemos tener ${g(z) \over f(z)} = d$, otra constante. Por lo tanto $(1+|d|)|f(z)|$ es una constante y por lo $f$ es una constante.

Answer 2

Por el principio del módulo máximo $|f(z)|$ no tiene mínimo local y máximo excepto en sus ceros. Así que si $f(a)=0$ $a$ es un mínimo local de $|f(z)|$ por lo que es un máximo local de $|g(z)|$ y $g(a) = 0$, es decir, $f(z) = g(z)= 0$.

$\implies$ Si $f(z)$ es no constante entonces $f(z),g(z)$ no hay ceros y podemos ver el % de funciones holomorphic $F(z) = \log f(z), G(z) = \log g(z)$y $H (z) = e^{Re(F(z))}+e^{Re(G(z))}=C$. Diferenciar: $$\partial_x H(z) = Re(F'(z)) e^{Re(F(z))}+Re(G'(z))e^{Re(G(z))}=0 $$ $% $ $ \partial_y H(z) = Im(F'(z)) e^{Re(F(z))}+Im(G'(z))e^{Re(G(z))}=0$

para que $$0= F'(z)e^{Re(F)}+G'(z)e^{Re(G(z))}=(F'(z)-G'(z))e^{Re(F(z))}+G'(z)(e^{Re(F(z))}+e^{Re(G(z))})$$ $$ = (F'(z)-G'(z))e^{Re(F(z))}+C G'(z)$ $ finalmente $(G'(z)-F'(z))e^{Re(F(z))}=C G'(z)$ significa que el $(G'(z)-F'(z))e^{Re(F(z))}$ y $e^{Re(F(z))}$ es holomorfa, es decir, $Re(F(z))$ y $F(z),f(z)$ son constantes.