Evaluación de la integral indefinida $\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\!dx$

Question

Me he encontrado con la siguiente integral y no sé cómo resolverla. $$ \int\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)dx $$ Intenté la sustitución "obvia" de $x=\sec\theta$ que te da: $$ \int\tan\theta\sec\theta\log\left(\tan\theta+\sec\theta\right)d\theta $$ Sin embargo, esto no lo simplifica mucho, en el sentido de que ahora no tengo ni idea de cómo resolverlo. Sacar el factor común de $\sec$ del registro, o quizás hacer $u=\tan\theta+\sec\theta$ pero ambos conducen a callejones sin salida (al menos para mí).

En caso de que te lo preguntes, WolframAlpha afirma que la respuesta es: $$x\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)-\sqrt{x^2-1}+c$$

Answer 1

Integrar por partes: $$ x\log(x+\sqrt{x^2-1})-\int x\frac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x+\sqrt{x^2-1}}\,dx $$

---

Ahora, ¿dónde he visto $\log(x+\sqrt{x^2-1})$ ¿otra vez? Establecer $x+\sqrt{x^2-1}=e^t$ Así que $$ x^2-1=e^{2t}-2xe^t+x^2 $$ o $$ 2xe^t=e^{2t}+1 $$ y $$ x=\cosh t $$ Así que una buena sustitución podría ser ésta, ¿no? La integral se convierte en $$ \int t\sinh t\,dt=t\cosh t-\int \cosh t\,dt=t\cosh t-\sinh t $$ y ahora es sólo la sustitución de la espalda.

Answer 2

El cálculo directo muestra que el integrando, $$\log\!\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right),$$ es la inversa de (la restricción a $[0, \infty)$ de) la función coseno hiperbólica $$\cosh u := \frac{e^u + e^{-u}}{2};$$ Debido a esto, el integrando aquí se suele denotar $$\text{arcosh x}.$$

Esto sugiere que podemos proceder de forma análoga a la derivación habitual de las antiderivadas de las funciones trigonométricas inversas: Sustituyendo $x = \cosh u$ da $$\int \text{arcosh } x \,dx = \int \text{arcosh} (\cosh u) \,d(\cosh u) = \int u \sinh u \,du.$$ Aplicar la integración por partes con $v = u$ , $dw = \sinh u \,du$ da que esto es $$u \cosh u - \int \cosh u\,du = u \cosh u - \sinh u + C,$$ y la sustitución inversa para escribir esto en términos de $x$ produce $$\text{arcosh } x \cosh (\text{arcosh } x) - \sinh(\text{arcosh } x) + C.$$

Sustituyendo $u = \text{arcosh x}$ en la identidad familiar $$\cosh^2 u = \sinh^2 u + 1,$$ simplificando, reordenando y utilizando esa $\text{arcosh}$ es no negativo (o, alternativamente, apelando al análogo hiperbólico de un triángulo de referencia) da la identidad $$\sinh (\text{arcosh } x) = \sqrt{x^2 - 1}.$$ Sustituyendo en la expresión anterior se obtiene la antiderivada, $$\color{#bf0000}{\int \text{arcosh } x \,dx = x \,\text{arcosh } x - \sqrt{x^2 - 1} + C},$$ que en particular coincide con el resultado dado por WolframAlpha.

Answer 3

Reconocer $\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)=\cosh^{-1}x$ y luego integrar por partes

$$ \int\log\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)dx=\int \cosh^{-1}x\>dx = x \cosh^{-1}x-\int \frac x{\sqrt{x^2-1}}dx $$ donde la integral restante es sólo $\sqrt{x^2-1}$ .