Si las matemáticas son la ciencia de los patrones, ¿qué ¿teoría estudia?
Mis pensamientos hasta ahora: Fije la teoría estudia el patrón de relaciones entre los miembros de una colección y colecciones.
Fondo: Esto no es una pregunta de tarea, estoy empezando en Introducción al pensamiento matemático y asegurando que tienen una buena conexión a tierra en los fundamentos de la teoría de conjuntos.
No creo que las matemáticas de los estudios de los patrones. Eso es una enorme simplificación. Es como decir que la física estudia las cosas que se mueven, o que los historiadores estudio de las cosas que sucedieron.
Me permite prefacio la respuesta señalando que a un no-matemático, matemáticas es resolver las ecuaciones, integrales y sines - a pesar del hecho de que realmente no es lo que a matemáticas se acerca. Del mismo modo actual de la investigación en cualquier campo avanzado no es visto por el ojo desnudo. Decir que la teoría de conjuntos es acerca de la pertenencia es aproximadamente como decir que la teoría de la medida es acerca de la duración de los intervalos y sus intersecciones o en los sindicatos. No es falso, pero como he señalado anteriormente, es una enorme simplificación, y por lo general se deriva de no estar familiarizado con lo que es un conjunto teórico (o una medida, teórico o matemático en general).
Pero tomemos esta simplificación tal y como está ahora. Si la teoría de conjuntos no estudiar los patrones de algo, entonces yo tendría que decir que los estudios de los patrones de provability y la falta de ella.
Este curso se desarrolla a los patrones y modelos de universos de conjuntos, y en cierto sentido, los patrones de las propiedades de estos modelos, y las propiedades de las propiedades de estos modelos, y así sucesivamente.
Por ejemplo, quiero mostrar que la declaración de $\varphi$ no es comprobable, sin el axioma de elección. Voy a comenzar con un modelo específico de la teoría de conjuntos y tratar de construir un universo donde el axioma de elección y $\varphi$ fallar y, a continuación, voy a buscar un modelo donde $\varphi$ mantiene pero el axioma de elección se produce un error.
El siguiente paso es analizar la prueba y ver que las propiedades particulares de la inicial del universo que he usado. ¿Puedo usar esto, o aquello, o tampoco? Que poco a poco se limpie la suciedad hasta que termino con el resultado siguiente "Si empezamos con un universo de la teoría de conjuntos en la que el axioma de elección, y una lista adicional de propiedades, haciendo esto y aquello y que podemos construir un universo de la teoría de conjuntos en la que $\varphi$ falla y el axioma de elección en su posesión; y en la toma de una ruta ligeramente diferente podemos hacer $\varphi$ cierto, pero el axioma de elección falsa.
Que sería de un patrón, por así decirlo. Los patrones de provability, los patrones de los universos de la teoría de conjuntos. Me podrían analizar los métodos técnicos de la construcción y encontrar los patrones de allí, y entonces puedo intentar y llegar a la siguiente conclusión "Si utilizamos Un método a continuación tenemos la garantía de que B ocurra". Este sería un patrón en el método de cómo podemos probar o construcción de nuevos universos.
Esas son buenas caracterizaciones que capturar más de lo que usted puede saber!, y proporcionar una breve/visión general del dominio de la teoría de conjuntos. Pero como con cualquier campo de las matemáticas, cómo se ven las cosas desde "afuera" no siempre es tan rico como usted va a descubrir al "entrar en el estudio y el discurso dentro de un dominio:
Cuanto más aprenda acerca de la teoría de conjuntos/teorías,
la más clara de las relaciones que hablar de la voluntad de convertirse,
el más fácilmente vas a entender esas relaciones como una lente a través de la cual usted puede ver las matemáticas en sí,
la más evidente será cómo útil la comprensión de esas relaciones puede ser cuando se ve cómo la teoría de conjuntos ha servido también como base para gran parte de la matemática moderna.
Más que aprender acerca de todos los puntos más finos de la teoría de conjuntos, usted encontrará los patrones y las relaciones a ser aún más rica, más amplia y más compleja que primero lo entiende.
Te vas a encontrar algunas anomalías, como bien. Tal vez usted va a encontrar algunos agujeros, y aún incompatible teorías: usted encontrará un desacuerdo acerca de cuestiones fundamentales en la teoría de conjuntos, y muchos puntos de partida, muchos de los cuales han llevado a la rica y variada resoluciones, dependiendo de los puntos de la discordia y de la salida de varios teóricos y lógicos a lo largo del tiempo. Pero incluso estas revelan un patrón de tipo.
También podrás adquirir el "lenguaje" de la teoría de conjuntos, que le dará el vocabulario, la gramática, y las "herramientas" para articular mejor las relaciones y los patrones que te encuentres. A veces, cuando no sabemos mucho acerca de un tema o en una rama de las matemáticas, como con cualquier tema, es difícil encontrar las palabras para describir completamente y la captura de los patrones que vemos. Y es difícil ver lo que no tenemos palabras para describir.
Para una visión general de la teoría de conjuntos
Estos enlaces le dará una idea de que tan penetrante que la teoría de conjuntos es en términos de su "absorción" en las matemáticas, en general.
Este es sólo un comienzo para abordar su pregunta. De ninguna manera es definitivo, que todo lo abarca "respuesta". Personalmente, me gusta encontrar patrones, y también me gusta hacer las conexiones a través de varios campos de las matemáticas, darse cuenta de los patrones comunes y los hilos que tejen su camino a través de las matemáticas en formas que no pueden ser descifrados sin destruir el tejido de las matemáticas. Estos hilos, también, los patrones de la forma.
Sólo algunas reflexiones iniciales.
Aunque técnicamente todos los patrones pueden ser reducidos a los patrones de la pertenencia, esto rara vez es la mejor manera de pensar acerca de ellos. No creo que la teoría de conjuntos debe ser caracterizado como el estudio de un único tipo de patrón, aunque no son los sub-campos que puede ser aproximadamente caracteriza de esta manera.
Aquí están algunos ejemplos de los patrones estudiados en la teoría de conjuntos, aunque sus definiciones no pueden ser muy accesible para el laico.
Conjuntos de lógica! Se escriben algunos de propiedad P que los objetos puedan tener, y entonces no es* un conjunto S que corresponde a P. El conjunto 'captura' de la propiedad P en el sentido de que un objeto tiene la propiedad P si y sólo si el objeto es un elemento de S.
Por el contrario, si usted tiene un conjunto S, se puede definir la propiedad "es un elemento de S".
Debido a que un conjunto es un objeto matemático, puedo manipularla y la razón con ella muy bien. Escribir una función que toma una propiedad como entrada parece extraño. ¿Cómo reaccionaría usted a ver f(even)? Pero si tengo un conjunto S de las cosas que son, incluso, f(S) no parece del todo extraño.
*: hay una advertencia: diagonalización de las causas de los problemas. e.g la propiedad is a set that doesn't contain itself no tiene un correspondiente conjunto. Hay un número de maneras de lidiar con este problema.
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