¿Cualquier dominio integral contiene un elemento irreducible?

Question

Que $R$ sea un dominio integral que no es un campo.

¿$R$ Tiene necesariamente un elemento irreducible?

Sospecho que la respuesta es no, pero no pude encontrar un ejemplo que muestra que...

Answer 1

Sugerencia $\ $ Hay anillos, no los campos, cerrado bajo las raíces cuadradas (por ejemplo, el anillo de todos los enteros algebraicos). En un anillo no hay irreducibles, ya que cada elemento de factores: $\rm\ a = \sqrt{a} \sqrt{a}.$

Un ejemplo concreto: $ $ deje $\rm\, D = \Bbb Q[x,x^{1/2},x^{1/4},x^{1/8},\ldots].\,$ Cada elemento $\ne0$ se puede escribir en la forma $\rm\ d_i x^{i}\! + d_j x^j\! +\cdots\! + d_k x^k\! = x^i\, f\ \,$ $\rm\,\ f\in D,\,\ d_i\in\Bbb Q,\,\ d_i\ne 0,\:$ $\rm\:i < j < \ldots < k,\:$ p. ej.

$$\rm a\, x^{1/8}\! + b\, x^{1/4}\! + c\, x^{1/2} =\, x^{1/8} (a + b\, x^{1/8}\! + c\, x^{3/8})\, =\, x^{1/8}\, f,\quad a\ne 0$$

Todos los exponentes de la $\rm\,x\,$ en términos de $\rm\,f\,$ permanecer de forma $\rm\,n/2^m\!,\,$ diferencias de tales. Se puede forzar a todos los cofactores $\rm\,f\,$ a unidades adyacentes de los inversos de todos estos elementos, como sigue. Desde $\rm\,f\,$ "constante" plazo $\rm\:a\ne 0,\,\ f\,$ no está en el ideal maximal $\rm\, M = (x,x^{1/2},x^{1/4},x^{1/8},\ldots).$ por lo Tanto, la localización en $\rm\,M,\,$ es decir, contigua a la recíproca de todos los elementos $\rm\not\in M,\,$ convierte a todos los $\rm\,f\,$ cofactores en las unidades, dando un dominio $\rm\,\bar D,\,$ no es un campo de $\rm(x^{-1}\!\not\in \bar D),\,$ donde todos los elementos tienen forma de $\rm\,x^k\, u,\,$ para algunos de una unidad de $\rm\,u.\,$ Desde $\rm\ a = x^k = (x^{k/2})^2 = \sqrt{a}\sqrt{a},\ $ este dominio no tiene irreducibles.

Answer 2

Otra clase de ejemplos viene dada por anillos de valoración cuyo valor es divisible.