Prueba $2^{1/p} - 2^{1/q}$ es irracional

Question

Prueba $2^{1/p} - 2^{1/q}$ es irracional para $p, q, \in \mathbb{N}, p \neq q$ . No estoy seguro de cómo empezar, ya que el truco habitual de tomar $p^{th}$ los poderes no parecen funcionar muy bien.

Answer 1

Supongamos que $p<q$ y $\sqrt[p]{2} -\sqrt[q]{2} =r=\frac{m}{n}\in\mathbb{Q}.$ Es bien sabido que el polinomio mínimo de $\sqrt[q]{2}$ es igual a $x^q-2,$ pero entonces tenemos $W(\sqrt[q]{2} ) =0$ donde $$W(x)=-2n^p+\sum_{k=0}^p {p\choose k} m^k n^{p-k} x^{p-k}$$ pero esto es imposible ya que $\mbox{deg} (W) =p<q .$