Respuesta corta
Hay buenas razones para que una notación como $\dfrac{d^2y}{(dx)^2}$, pero por desgracia la convención pasa a ser a la caída de los paréntesis en el denominador. Esto se remonta a Leibniz de la notación original.
Respuesta larga
(Nota: yo uso $\mathrm{d}$ en lugar de la cursiva $d$, por lo que nunca me olvido de que $\mathrm{d}$ no es como la de una variable.)
$\Delta$ $\mathrm{d}$ no son exactamente la misma cosa, y la comprensión de ellos pueden ayudarle a entender lo que está pasando con la segunda derivada, así que voy a empezar por ahí (pero usted puede ser capaz de saltar de la primera sección o dos).
I. Los significados de la $\Delta$ $\Delta y/\Delta x$
$\Delta$ generalmente significa algo así como "una diferencia/cambiar". $\Delta x$ a menudo será un número que representa cuánto $x$ cambiado por (es decir, entre dos puntos de interés). Si $y$ es una cantidad que depende de la $x$, $\Delta y$ significa algo así como "un cambio en el $y$ (y desde $y$ depende de $x$ sabemos que este cambio dependerá de cuánto estamos cambiando $x$: es decir, que va a cambiar, basada en el $\Delta x$)". Por ejemplo, si $y$ es sinónimo de $f(x)$, entonces sería razonable para escribir $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$.
La pendiente de la secante de la línea (a veces llamado "el promedio de la tasa de cambio de $y$ con respecto al $x$") entre los puntos de $\left(x,f(x)\right)$ $\left(x+\Delta x,f\left(x+\Delta x\right)\right)$ es el dado por $$\dfrac{f\left(x+\Delta x\right)-f(x)}{\left(x+\Delta x\right)-x}=\dfrac{f\left(x+\Delta x\right)-f(x)}{\Delta x}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\tag{1}$$
II. Los significados de $\mathrm d$ $\mathrm dy/\mathrm dx$
$\mathrm d$ generalmente significa algo así como "un infinitesimal/pequeña diferencia/cambiar". Si $y$ es una cantidad que depende de la $x$, $\mathrm dy$ significa algo así como "un pequeño cambio en $y$ (y desde $y$ depende de $x$ sabemos que este cambio dependerá de cuánto estamos cambiando $x$: es decir, que va a cambiar, basada en el $\mathrm dx$)".
Desafortunadamente $\mathrm dy$ no es muy útil en sí mismo, ya que es infinitesimal, pero todavía podemos comparar diminutos cambios en el $y$ a pequeños cambios en $x$ para obtener una idea de cómo la $y$ crece.
La pendiente de una línea tangente (a veces llamado "la tasa instantánea de cambio de $y$ con respecto al $x$") en el punto de $\left(x,f(x)\right)$ debe ser lo laderas de la secante líneas de enfoque como $\Delta x$ se vuelve pequeña, por lo que se utiliza un límite. Definimos $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}={\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$. De esta manera, tenemos
$$\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{f\left(x+\Delta x\right)-f(x)}{\Delta x}=\lim_{h\to0}\dfrac{f\left(x+h\right)-f(x)}{h} \tag{2}$$
III. El significado de $\Delta^2 y/\left(\Delta x\right)^2$
A veces estamos interesados en los cambios de los cambios (como la de "aceleración", como el cambio del cambio de posición con respecto al tiempo). Como de costumbre, vamos a suponer que $y$ es sinónimo de $f(x)$. Para hacer las cosas más fáciles de escribir/pensar, me voy a dar el nombre de la función $g(x)$$\Delta y$, por lo que el $g(x)=f\left(x+\Delta x\right)-f(x)$. Tenga en cuenta que $g(x)$ técnicamente depende del $\Delta x$, pero no quiero escribir algo como $g_{\Delta x}$ cada vez.
Ahora podemos calcular algunas cosas y ver a dónde te llevan: en Primer lugar, podemos calcular el cambio en el cambio en $y$:
\begin{align}\Delta\left(\Delta y\right)&=\Delta\left(g\left(x\right)\right)
\\&=g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)
\\&=\left(f\left(\left(x+\Delta x\right)+\Delta x\right)-f\left(x+\Delta x\right)\right)-\left(f\left(x+\Delta x\right)-f(x)\right)
\\&=f\left(x+2\Delta x\right)-2f\left(x+\Delta x\right)+f(x)\tag{3}\end{align}
¿Qué acerca de la diferencia en las laderas de dos líneas secantes?:
\begin{align}\Delta\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right) & =\Delta\left(\dfrac{g(x)}{\Delta x}\right)\\
& =\dfrac{g\left(x+\Delta x\right)}{\Delta x}-\dfrac{g(x)}{\Delta x}\\
& =\dfrac{g\left(x+\Delta x\right)-g(x)}{\Delta x}\\
& =\dfrac{\Delta\left(g(x)\right)}{\Delta x}\\
& =\dfrac{\Delta\left(\Delta y\right)}{\Delta x}\tag{4}
\end{align}
Por último, podemos ver cómo las laderas de la secante líneas están cambiando en la medida en comparación con el cambio en $x$:
$$\dfrac{\Delta\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)}{\Delta x}=\dfrac{\dfrac{\Delta\left(\Delta y\right)}{\Delta x}}{\Delta x}=\dfrac{\Delta\left(\Delta y\right)}{\left(\Delta x\right)^{2}}\tag{5}$$
Porque se asemeja a la multiplicación, es común escribir $\Delta\left(\Delta y\right)$$\Delta^2 y$, por lo que esta cantidad que acabamos de ver es $\dfrac{\Delta^2 y}{\left(\Delta x\right)^{2}}$.
IV. El significado de $\mathrm d^2 y/\mathrm dx^2$
Una vez que tenemos un derivado, como $\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}$, se pueden diferenciar de nuevo para encontrar cosas como "aceleración instantánea". Por lo tanto, estamos interesados en los siguientes:
\begin{align}\dfrac{\mathrm{d}\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}{\mathrm{d}x} & =\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta\left(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)}{\Delta x}\\
& =\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta\left({\displaystyle \lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}}\right)}{\Delta x}\\
& =\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta\left({\displaystyle \dfrac{\Delta y}{\Delta x}}\right)}{\Delta x}\tag{%#%#%}\\
& =\lim_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta^{2}y}{\left(\Delta x\right)^{2}}\tag{6}
\end{align}
Respuesta a la OP
Por analogía con $\star$, es razonable para escribir la cantidad anterior como $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$. Para guardar la escritura de paréntesis, la convención es, a menudo, escribir $\dfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\left(\mathrm{d}x\right)^{2}}$, que creo que puede ser confuso.
Nota técnica
Cuando fuimos a la línea que se denota con ($\dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}$) por encima, que me engañó un poco. Cuando estamos hablando de límites, tal vez el orden o velocidades relativas de los dos límites importa. Probablemente sería mejor tener dos diferentes $\star$s con sus propios límites. Pero para bastante agradable funciones (al menos las funciones de forma continua con derivada segunda), esto no importa y es seguro para tratar el interior y exterior de la $\Delta x$s como el mismo.
