Uno de los básicos (y utilizados) de las propiedades de exponenciación cardinal es que $(a^b)^c=a^{bc}$.
¿Cuál es la prueba de este hecho?
Como Arturo, señaló en su comentario, en ciencias de la computación esto se llama alarmada.
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DanV
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Martin dio una completa y detallada respuesta, voy a dar una breve prueba de que podría ser más clara.
Recordemos que $A^B = \{f\mid f\colon B\to A\}$, es decir, todas las funciones de $B$ a $A$.
Ya hemos definido la cardinalidad como clases de equivalencia, es suficiente para mostrar que $(A^B)^C$ es equinumerous con $A^{B\times C}$ arbitrarias de conjuntos.
En primer lugar, debemos entender que estos dos conjuntos. $(A^B)^C$ es un conjunto de funciones, cuyo dominio es $C$ y su valor es una función de $B$ a $A$. Que es una típica función de tomar un elemento de $C$ y el retorno de una función de $B$ a $A$.
$A^{B\times C}$ es el conjunto de todas las funciones cuyo dominio es $B\times C$, en $A$. Estas funciones toman los pares ordenados (o dos variables) de $B\times C$ y devolver un elemento de $A$.
La intuición de lo que vamos a hacer es similar a$f_n = \cos (nx)$$f(x,n) = \cos (nx)$. La primera es una función de $\mathbb N$ a $\mathbb R^\mathbb R$ (es decir,$n\mapsto \cos(nx)$), mientras que el segundo es una función de $\mathbb R\times\mathbb N\to\mathbb R$.
La manera que tenemos de hacerlo es mediante la definición de $\varphi\colon(A^B)^C\to A^{B\times C}$ definido como de una manera similar. $\varphi(f)$ será la función que cuando la fijación de $c$ tenemos $f(c)$.
Rigurosamente, este se define como: $$\varphi(f)(b,c) = f(c)(b)$$
Para comprobar que este es uno-a-uno, si $g,f\in (A^B)^C$ son dos funciones diferentes, tome $c$ tal que $f(c)\neq g(c)$ (recordar que estos valores son funciones de $A^B$). Esto significa que para algunos $b\in B$ tenemos $f(c)(b)\neq g(c)(b)$.
Por lo tanto, a la par $\langle b,c\rangle$ la función de $\varphi(f)$ tendrá un valor diferente de $\varphi(g)$.
Para mostrar que $\varphi$ es un surjection, tomamos una función de $g\colon B\times C\to A$, y simplemente poner $f\colon C\to A^B$$f(c)(b) = g(b,c)$. Necesitamos, por supuesto, para mostrar que $f$ está bien definido, y entonces podemos demostrar fácilmente que $\varphi(f)=g$.
freespace
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Teorema: Para arbitrario de los números cardinales de la igualdad de $(a^b)^c=a^{bc}$ mantiene.
Prueba. Basta para mostrar que no es un bijection entre el $(A^B)^C$ y $A^{B\times C}$ arbitrarias de conjuntos $A$, $B$, $C$. Vamos a tratar de encontrar funciones $\varphi:{(A^B)^C}\to{A^{B\times C}}$ $\psi:{A^{B\times C}}\to{(A^B)^C}$ y demostrar que son inversos el uno al otro.
Queremos encontrar un mapa $\varphi:{(A^B)^C}\to{A^{B\times C}}$. I. e., para cualquier mapa de $f: C\to A^B$ nos gustaría conseguir algunos de mapa de asignación de elementos de $A$ a los pares $(b,c)\in B\times C$. Para arbitrario $c\in C$ tenemos el mapa de ${f(c)}:B\to A$ -- así que es muy natural mapa de los par $(b,c)$$f(c)(b)$, es decir, $$\varphi(f):{B\times C}\to A$$ $$\varphi(f)(b,c)=f(c)(b)$$
Por el contrario, a cada mapa de $g:{B\times C}\to A$ le gustaría asignar un mapa de ${\psi(g)}:C \to {A^B}$, es decir, un mapa que asigna a cada elemento de a $C$ alguna función de $B$$A$. Si se nos da una función de$B\times C$$A$, y si arreglamos $c\in C$ and change only the element $b\in B$ vemos que tenemos un mapa de$B$$A$. Esto puede ser escrito más precisamente como $${(\psi(g))(c)}:B\to A$$ $$(\psi(g))(c)(b)=g(b,c)$$
Este mapa está dibujado en la figura siguiente, donde kde $A=\mathbb R$, $B=\langle 0,1\rangle$, $C=\langle0,\infty)$. Los "recortes" marcado en el gráfico de la función dada son precisamente las funciones de $B$ $A$asignado a los elementos de $C$. (He elegido los conjuntos $A$, $B$ un $C$ a ser diferente, por lo que podemos ver en la imagen que establecer es que.)
Simplemente por la composición, observamos que tanto en $\varphi\circ\psi$ y $\psi\circ\varphi$ es la identidad. Primero vamos a calcular ${\varphi\circ\psi}:{A^{B\times C}}\to {A^{B\times C}}$. Para arbitrario $g:{B\times C}\to A$ le gustaría averiguar cómo la función ${\varphi(\psi(g))}:{B\times C}\to A$ parece. Obtenemos (directamente a través de la definición de los mapas de $\varphi$$\psi$) que $$\varphi(\psi(g))(b,c)=\psi(g)(c)(b)=g(b,c).$$ Así tenemos a $\varphi(\psi(g))=g$ por cada $g\in A^{B\times C}$, y por lo tanto $\varphi\circ\psi=id_{A^{B\times C}}$.
Ahora tratemos de calcular ${\psi\circ\varphi}:{(A^B)^C}\to {(A^B)^C}$. Si tenemos un mapa $f:C\to {A^B}$, nos gustaría saber si $\psi(\varphi(f))=f$. Usando las definiciones de $\varphi$ $\psi$ tenemos $$\psi(\varphi(f))(c)(b)=\varphi(f)(b,c)=f(c)(b).$$ Como esto es cierto para cualquier $b\in B$, obtenemos la igualdad de la funciones de $$\psi(\varphi(f))(c)=f(c).$$ de Nuevo, esta igualdad tiene para cada una de las $c\in C$, por lo tanto $\psi\circ\varphi(f)=f$. La última la igualdad (que tiene de arbitrario $f\in (A^B)^C$) implica la igualdad de los funciones de $\psi\circ\varphi=id_{(A^B)^C}$.
Hemos encontrado que $\psi=\varphi^{-1}$, por lo tanto ambos mapas $\varphi$ y $\psi$ son bijective.
La figura ilustra la prueba. (Yo he usado la función $f(x,y)=\frac32+\frac15\sin{\pi x}$:
