Mis disculpas si esta pregunta ha sido formulada antes, pero una búsqueda rápida no arrojó resultados. Esto no es tarea, solo me gustaría una pista por favor. La pregunta es
Mostrar que $\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb{Q}$.
Para empezar, considero alguna relación lineal $a + b \sqrt{2} + c \sqrt{3} = 0$, donde $a, b, c \in \mathbb{Q}$. Hay varios casos a considerar.
Si $c = 0$, entonces debe ser el caso que $a = b = 0$, porque $\sqrt{2}$ no es racional. De manera similar, si $b = 0$, entonces $a = c = 0$ porque $\sqrt{3}$ no es racional. Si $a = 0$, entonces debemos tener que $b = c = 0$ porque $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ no es racional (porque $\sqrt{6}$ no es racional).
Mi problema es llegar a una contradicción cuando $a$, $b$ y $c$ son todos distintos de cero. No siempre es el caso que la suma de dos números irracionales sea irracional (por ejemplo $1 - \sqrt{2}$ y $\sqrt{2}$). ¡Pistas o sugerencias serían muy apreciadas!
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Si estás interesado, aquí hay un problema un poco más desafiante en la misma línea. Sea $S= \{n\in \mathbf{N} : $ningún cuadrado mayor que 1 divide a $n\}$ Entonces, para cualquier $p_1,\dots,p_k \in S, \{1, \sqrt{p_1}, \dots, \sqrt{p_k}\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbf{Q}$