Generalización del teorema del binomio

Question

Considere la suma

$$\sum_{k=0}^{n_0} {n \choose k} \cdot \alpha^k$$

donde $\alpha \in \mathbb{R}$ arbritaria, $n_0 < n$ . Así que parece el teorema del binomio,

$$\sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot \alpha^k = (1+\alpha)^n$$

Me gustaría encontrar una estimación $$\sum_{k=0}^{n_0} {n \choose k} \cdot \alpha^k \geq c \cdot (1+\alpha)^n$$ donde $c$ es una constante que se puede calcular explícitamente. Intenté utilizar el teorema del binomio y la simetría, es decir ${n \choose k} = {n \choose n-k}$ y cosas así, pero no funcionó. (Me gustaría aplicar la estimación en particular para $n_0 := \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ .)

Answer 1

Puede solicitar Chernoff Bound - Dice $\sum_{i > \lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i} \ge 1 - e^{-\frac{n}{2p}(p-\frac{1}{2})^2}$ .

Si se escribe la suma a la inversa y se utiliza la simetría de los coeficientes binomiales, se obtiene

$$\sum_{i < \lceil \frac{n}{2} \rceil} \binom{n}{i} p^{n-i} (1-p)^{i} \ge 1 - e^{-\frac{n}{2p}(p-\frac{1}{2})^2}$$ o $$\sum_{i < \lceil \frac{n}{2} \rceil} \binom{n}{i} (\frac{1-p}{p})^{i} \ge p^{-n}(1 - e^{-\frac{n}{2p}(p-\frac{1}{2})^2}) $$

Elegir $p \in (0,1)$ tal que $\frac{1-p}{p} = \alpha$ (suponiendo que $\alpha > 0$ ), es decir $p=\frac{1}{1+\alpha}$ obtenemos

$$\sum_{i < \lceil \frac{n}{2} \rceil} \binom{n}{i} \alpha^{i} \ge (1+\alpha)^{n}(1 - e^{-\frac{n}{8}\frac{(1-\alpha)^2}{(1+\alpha)}})$$ Así que puede tomar lo siguiente $C$ que depende de $n$ y $p$ al menos en el caso $n_0=\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ : $$C=1 - e^{-\frac{n}{8}\frac{(1-\alpha)^2}{(1+\alpha)}}$$

EDIT: Al elegir $\alpha = \frac{p}{1-p}$ se puede obtener el siguiente límite superior: $$\sum_{i \le \lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \binom{n}{i} \alpha^{i} \le (1+\alpha)^{n} e^{-\frac{n}{8}\frac{(1-\alpha)^2}{\alpha(1+\alpha)}}$$

EDIT 2: En general, si $\alpha>0$ y dividimos su desigualdad por $(1+\alpha)^n$ obtenemos: $\sum_{k\le n_0} \binom{n}{k} (\frac{\alpha}{1+\alpha})^{k} (\frac{1}{1+\alpha})^{n-k} \ge c$ por lo que queremos acotar la probabilidad de que entre $n$ lanzamientos de moneda, obtuvimos "Cabeza" no más que $n_0$ veces, donde la probabilidad para la cabeza es $\frac{\alpha}{1+\alpha}$ . Bajo la condición $\alpha < 1$ Puedo reemplazar ese "8" en el denominador por "2", ver Hoeffding .

Answer 2

Creo que te va a costar mucho conseguir tal desigualdad. Supongamos que pudieras demostrar la existencia de una constante $c$ tal que $$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{k}\alpha^k \geq c(1+\alpha)^n$$ para todos $\alpha>0$ . Dividiendo esta desigualdad por $\alpha^n$ daría $$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{k}\alpha^{k-n}\geq c(1 + \alpha^{-1})^n.$$ Cuando $\alpha\to +\infty$ la parte derecha de esta expresión tiende a $c$ mientras que el lado izquierdo tiende a $0$ una contradicción.

Esto muestra la constante $c$ tendría que depender de $\alpha$ (y muy probablemente $n$ y $n_0$ también), lo que parece que haría inútil dicha desigualdad, a menos que realmente se busque una expresión muy computable para $c$ .