Encontrar una extensión normal $\mathbb{Q}$ de grado 3

Question

He tenido problemas con uno.

Sé que si he podido encontrar

un poli irreducible $p(x)$ $\mathbb{Q}$ que tiene raíces $\alpha, \beta, \gamma\in Q(\alpha)$,

entonces $|\mathbb{Q}(\alpha) : \mathbb{Q}| $ = 3 y sería una extensión normal, como $\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\alpha,\beta,\gamma)$ sería un campo División de $f$ $\mathbb{Q}$.

Sin embargo, se trata de un montón de condiciones para encontrar por suerte...

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Trate de encontrar un polinomio con discriminante $D$ que satisface $\sqrt{D}\in\mathbb{Q}$.

¿Por qué esta ayuda?

En primer lugar, las únicas posibilidades para el grupo de Galois $G$$S_3$$A_3$, como Ben Millwood comentó.

Segundo, cada elemento de a $G$ debe arreglar $\sqrt{D}\in\mathbb{Q}$. Pero se puede comprobar que cada transposición de dos raíces de $f$ no soluciona $\sqrt{D}$. Por lo tanto, $G$ no puede contener cualquier transposición y debe ser isomorfo a $A_3$.

Spoiler:

El uso de $f(x) = x^3 -3x -1$

Answer 2

Usted puede saber que el grupo de Galois de $x^n-1$ sobre los racionales es cíclico de orden $\phi(n)$ (que es la función phi de Euler). Si $\phi(n)$ es un múltiplo de $3$ (y no es difícil encontrar tal $n$), usted puede encontrar una extensión normal de los racionales de grado $3$ como un subcampo del campo División de $x^n-1$.

Esto es más fácil hacerlo si no eliges $n$ algo mejor que sea necesario.

Answer 3

El campo División de $x^3-7x+7$ es de grado 3 sobre los racionales, ya que el discriminante es un cuadrado racional y el polinomio es irreducible.