Resolución de integración por partes

Question

$\displaystyle\int\frac{xe^{2x}}{(1+2x)^2}\,dx$

Con ese problema. mi enfoque es reescribir el integral como $$\int xe^{2x}\frac{1}{(1+2x)^2}\,dx$$ and then pick a $u $ and a $ dv $ and take it from there. The only issue I'm running into is that $ xe ^ {2 x} $ me aparece como dos funciones en vez de uno. ¿Qué es una sugerencia para esto?

Answer 1

Sugiero dejar $u=xe^{2x}$, ya que se debe integrar por partes (mientras que el derivado es la regla del producto) y $dv=\frac{1}{(1+2x)^2}dx$.

Puede permitir a un compuesto de dos funciones es igual a $u$. Es perfectamente válido y a menudo necesario.

Answer 2

Hacer la sustitución $1 + 2x = t$, de modo que $\text{d}x = \frac{\text{d}t}{2}$, por lo que se obtiene:

$$I = \int \frac{(t-1)}{2}\cdot \frac{e^{2\left(\frac{(t-1)}{2}\right)}}{t^2}\frac{\text{d}t}{2}$$

y la organización de los términos que fácilmente obtiene:

$$\frac{e^{-1}}{4}\int \frac{e^t}{t} - \frac{e^{t}}{t^2}\ \text{d}t$$

Ahora, la primera integral es una Función Especial llamada la Integral Exponencial de la función:

$$\int\frac{e^t}{t}\ \text{d}t = \text{Ei}(t)$$

y la segunda puede ser realizada por las partes, dando el mismo resultado bastante:

$$\int \frac{e^t}{t^2}\ \text{d}t = -\frac{e^t}{t} + \text{Ei}(t)$$

Armar y puede ver las dos Funciones Especiales son cancelados por el signo menos, obteniendo al final el resultado de la integración en $\text{d}t$:

$$\frac{e^{-1}}{4}\frac{e^{t}}{t} \equiv \frac{e^{t-1}}{4t}$$

volviendo a $x$:

$$I = \frac{e^{2x}}{4\cdot(1 + 2x)}$$

Más acerca de la Integral Exponencial

https://en.wikipedia.org/wiki/Exponential_integral

Comentario Final

No te olvides de los diversos $C$ constantes se puede obtener a partir de cada uno de integración, y se puede configurar como cero!!!

Answer 3

Para utilizar la integración por partes método, hacemos lo siguiente: $$\int \frac{1}{(1+2x)^2}xe^{2x}dx=\int \left (-\frac{1}{2(1+2x)}\right )'xe^{2x}dx \\ =-\frac{1}{2(1+2x)}xe^{2x}+\int \frac{1}{2(1+2x)}(e^{2x}+2xe^{2x})dx \\ =-\frac{1}{2(1+2x)}xe^{2x}+\int \frac{1}{2(1+2x)}(e^{2x}(1+2x))dx \\ =-\frac{1}{2(1+2x)}xe^{2x}+\int \frac{e^{2x}}{2}dx \\ =-\frac{1}{2(1+2x)}xe^{2x}+\frac{e^{2x}}{4}+C \\ =e^{2x}\frac{1+2x-2x}{4(1+2x)}+C\\ =\frac{e^{2x}}{4(1+2x)}+C$ $