Quiero demostrar, que $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{p})$ isométrica isomorfo a $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{q})$ iff $p=q,$he intentado mirar las bolas unitarias, y yo he comprobado que $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{1})$ no es isométrica isométrica a cualquier otra $p$-norma.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En el artículo Isometrías de Finito-Dimensional de la Normativa de los Espacios por el F. C. Sánchez y J. M. F. Castillo, los autores probar el siguiente resultado.
Teorema. Para $1\le p,q\le\infty$ y $n\ge 2$, $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_p)$ y $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_q)$ son isométricamente isomorfos si y sólo si $p=q$ o si $n=2$$p,q\in\{1,\infty\}$.
El argumento se divide en varios casos.
El primero es descartar cualquier isométrica isomorphisms entre el $\ell^n_p$ $\ell^n_q$ si $q\not=p'$ donde $p'$ es el Hölder doble de $p$ definido por $\frac1p+\frac1{p'}=1$.
Este es un muy bonito argumento, que ahora voy a tratar de reproducir. Para el resto de los casos, ver el papel.
Por simplicidad, vamos a considerar sólo a $1<p,q<\infty$.
Denotar $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_p)$$\ell^n_p$.
Decir $\phi:\ell^n_p\to \ell^n_q$ es un isomorfismo isométrico. Recordemos que, por Hölder la desigualdad (y de su condición de igualdad), el espacio dual de $\ell^n_p$ está dado por $(\ell^n_p)^*=\ell^{n}_{p'}$ (hasta el isomorfismo isométrico).
El doble mapa de $\phi^*:\ell_{q'}^n\to \ell_{p'}^n$ también es un isomorfismo isométrico (este es un hecho general, consulte el apéndice a continuación). Desembalaje de las definiciones, vemos que existe una matriz invertible $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ tal que $$ \|Ax\|_q = \|x\|_p$$ y $$ \|A^* x\|_{p'}=\|x\|_{q'}$$
mantenga pulsado para todos los $x\in\mathbb{R}^n$ donde $A^*$ es el doble de la matriz (para el transporte) de $A$.
La pregunta es: ¿Cómo esta matriz?
Observe que los vectores unitarios tienen norma $1$ $p$- normas. Por lo que el establecimiento $x=e_j$ en ambas ecuaciones obtenemos
$$1=\|Ae_j\|^q_q = \sum_{i=1}^n |A_{ij}|^q$$
y
$$1=\|A^T e_j\|^{p'}_{p'}=\sum_{i=1}^n |A_{ji}|^{p'}$$
La adición de las dos ecuaciones más de $j=1,\dots,n$ obtenemos
$$n=\sum_{i,j=1}^n |A_{ij}|^q = \sum_{i,j=1}^n |A_{ij}|^{p'},$$
por lo que la entrada de sabios $q$ norma de $A$ es igual a la de entrada sabia $p'$ norma y la igualdad de $n$.
Observando también que el $|A_{ij}|\le 1$ (el anterior) y desde $q\not=p'$ vemos que cada una de las $A_{ij}$ sólo puede ser $0$ o $\pm 1$ y el número de no-cero entradas es exactamente $n$. Debido a que la matriz también es invertible, ahora sabemos exactamente cómo se ve: tiene exactamente un $\pm 1$ en cada fila y cada columna. Es decir, $A$ es "generalizada" de la matriz de permutación (la "generalizada" haciendo alusión al hecho de que también se $-1$ es permitido).
(la belleza es que tenemos ahora "accidentalmente" se clasifican todas las isometrías $\ell^n_p\to \ell^n_p$ si $p\not=2$!, que hubiera sido una interesante pregunta de seguimiento)
Desde aquí es fácil llegar a la conclusión de que debemos tener $p=q$. Considere el vector $x=e_1+e_2$. A continuación, $Ax=\epsilon_1 e_i + \epsilon_2 e_j$ algunos $i,j$ y en las elecciones de signos $\epsilon_1,\epsilon_2\in\{\pm 1\}$, por lo que $$2^{1/p}=\|x\|_p=\|Ax\|_q = 2^{1/q}.$$ Por lo $p=q$.
El apéndice.
Lema. Deje $X,Y$ ser normativa espacios vectoriales y $\phi:X\to Y$ un isomorfismo isométrico. Luego también el doble mapa $$\phi^*:Y^*\to X^*,$$ dado por $\phi^*(w)(x)=w(\phi(x))$ es un isomorfismo isométrico.
Prueba. Tenemos $$\|\phi^* w\|_{X^*}=\sup_{x\not=0} \frac{|w(\phi(x))|}{\|x\|_X}=\sup_{x\not=0} \frac{|w(\phi(x))|}{\|\phi(x)\|_Y} = \sup_{y\not=0} \frac{|w(y)|}{\|y\|_Y}=\|w\|_{Y^*},$$ donde el penúltimo paso usos que $\phi$ es bijective. $\square$
