Homeomorfismo de la línea real-Topología

Question

Necesito mostrar que cualquier intervalo abierto es homeomórfico a la línea real.

Sé que $f(x)=a+e^x$ trabajará para el mapeo $f:R \to (a, \infty )$ y $f(x)=b-e^{-x}$ trabajará para el mapeo $f:R \to (- \infty ,b).$

Sin usar dos funciones, ¿cómo puedo probar el resultado en general?

Answer 1

Deje que $$ f(x) = \frac {x}{x^2-1}. $$ Este es un homeomorfismo de $(-1,1)$ a $ \mathbb R$ .

Deje que $$ g(x) = \frac {1}{1+2^{-x}}. $$ Eso es un homeopmorfismo de $ \mathbb R$ a $(0,1)$ .

Para cualquier otro intervalo limitado $(a,b)$ sólo reajustar y reubicar.

Answer 2

Ya se le han dado dos posibles homeomorfismos, pero ¿qué tal otro?

Digamos que tienes dos mapas $ \varphi : A \to B$ y $ \psi : B \to C$ ambos son homeomorfismos. Está claro que $ \psi \circ \varphi : A \to C$ es de nuevo un homeomorfismo.

Usando este hecho, elige tu intervalo abierto finito favorito $(a,b)$ y probar que es homeomórfico para $ \mathbb {R}$ .

A continuación, toma un intervalo abierto arbitrario $(c,d)$ y construir un homeomorfismo entre este y $(a,b)$ y voilà, estás acabado.

En particular, mira el intervalo $(0,1)$ y su imagen bajo la función $ \tan ( \pi (x- \frac {1}{2}))$ . Esto es claramente un homeomorfismo. Ahora solo trace un intervalo abierto para $(0,1)$ (homeomórficamente), y dar por terminado el día.

Answer 3

Considere la función $ \log (b-x)- \log (x-a)$