Encontrar un límite que implique una función exponencial

Question

Encontrar el valor del límite $$\lim_{x\to0}\left(\frac{e-(1+x)^\frac{1}{x}}{x}\right).$$

Intenté aplicar el límite estándar $$\lim_{x\to0}(1+x)^\frac{1}{x} = e$$ y el Teorema de L'Hospital individualmente, pero eso no me ayudó.

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Utilizando las expansiones estándar de Taylor (a bajo orden) $\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2)$ y $e^u=1+u+o(u)$ cuando $u\to0$ .

Reescribiendo $$\begin{align} (1+x)^{\frac{1}{x}} &= \exp\left( \frac{1}{x}\ln(1+x)\right) = \exp\left( \frac{1}{x}(x-\frac{x^2}{2} + o(x^2))\right) = \exp\left( 1-\frac{x}{2} + o(x)\right) \\&= e\cdot \exp\left( -\frac{x}{2} + o(x)\right) = e\cdot \left( 1-\frac{x}{2} + o(x)\right) = e-e\frac{x}{2} + o(x) \end{align}$$ obtenemos que $$ \frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x} = \frac{e\frac{x}{2} + o(x)}{x} =\frac{e}{2} + o(1)\xrightarrow[x\to0]{} \boxed{\frac{e}{2}}. $$

Obsérvese que hemos ampliado $\ln(1+x)$ para pedir $x^2$ ya que podemos "adivinar" que la primera orden será cancelada eventualmente por el $-e$ en el denominador. (Si se hace sólo la expansión en primer orden, se obtendrá básicamente el límite $(1+x)^{1/x}\xrightarrow[x\to0]{}e$ y por eso sabemos que necesitamos una mayor precisión).

En el segundo paso, la factorización de la $e$ del producto nos permite obtener $e^{-x/2+o(x)}$ en lugar de $e^{1-x/2+o(x)}$ que es necesario para utilizar la expansión de $e^u$ (ya que esta expansión se mantiene cuando $u\to 0$ y mientras $\frac{x}{2}\to 0$ pero no es el caso de $1-\frac{x}{2}$ .)

Answer 2

Sugerencia. Expande la función $f(x):=(1+x)^{\frac{1}{x}}=\exp\left(\frac{\ln(1+x)}{x}\right)$ en $0$ : $$f(x)=\exp\left(\frac{x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{x}\right)=\exp\left(1-\frac{x}{2}+o(x)\right)=e\cdot \exp\left(-\frac{x}{2}+o(x)\right).$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí? Al final deberías encontrar que el límite es $e/2$ .

Answer 3

Poner $$f (x)=(1+x)^\frac 1x $$ para $x\ne 0$ y $f (0)=e $ .

entonces su límite es $$-\lim_0\frac {f (x)-f (0)}{x-0} $$ o $$-\lim_0 f'(x ).$$ con

$f'(x)=f (x)(-\frac {1}{x^2}\ln (1+x)+\frac {1}{x (1+x)}) $

$=f (x)(\frac {-x+x^2/2 (1+\epsilon (x))}{x^2}+\frac {1}{x}-\frac {1}{1+x}) $

de esto, el límite es $$-e(\frac {1}{2}-1)=\frac {e}{2} $$