Encontrar una primitiva explícitamente

Question

Dejemos que $A=\{z\in\mathbb{C}~:~|z|>4\}$ . Sea $f(z)=\frac{z}{(z-1)(z-2)(z-3)}$ y $g(z)=\frac{z^2}{(z-1)(z-2)(z-3)}$ .

Me han preguntado si $f$ y $g$ tienen primitivas globales en $A$ y si es así encontrarlos.

Después de descomponer en fracciones parciales tengo:

$f(z)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{z-1}\bigg)-2\bigg(\frac{1}{z-2}\bigg)+\frac{3}{2}\bigg(\frac{1}{z-3}\bigg)$

y

$g(z)=\frac{1}{2}\bigg(\frac{1}{z-1}\bigg)+-4\bigg(\frac{1}{z-2}\bigg)+\frac{9}{2}\bigg(\frac{1}{z-3}\bigg)$ .

Ahora bien, mi comprensión del logaritmo complejo no es grande, pero por lo que entiendo, en cualquier subconjunto abierto simplemente conectado de $\mathbb{C}-{a}$ hay una rama de $\log(z-a)$ sirviendo como primitivo para $\frac{1}{z-a}$ . Sin embargo, nuestra región $A$ no está simplemente conectado. ¿Cómo podemos solucionar esto?

Gracias por cualquier consejo y/o profundización en la comprensión de las primitivas que implican funciones logarítmicas/multivaluadas.

$\bf{UPDATE:}$ Gracias a la respuesta de zyx, me he dado cuenta de lo siguiente. Para demostrar la existencia de una primitiva para una función dada en el dominio $A$ Sólo necesito demostrar que la integral alrededor de cada bucle cerrado en $A$ se evalúa como 0. Para los bucles que rodean el complemento de $A$ esto sólo ocurre cuando los coeficientes de la $\frac{1}{z-a}$ suman 0, como se indica a continuación.

Sin embargo, sigo sin entender realmente por qué podemos decir que el primitivo $\frac{1}{2}\log(z-1)-2\log(z-2)+\frac{3}{2}\log(z-3)$ está bien definida en $A$ .

Answer 1

$p \log(z-1) + q \log(z-2) + r\log(z-3)$ está bien definida en la región A cuando $p+q+r=0$ .

Answer 2

La sugerencia de zyx es buena. Pero también se puede hacer la rápida observación de que las integrales de trayectoria de $f$ y $g$ a lo largo de un círculo de radio $R$ alrededor del origen no depende de $R$ en el intervalo $R>4$ . Ahora dejemos que $R\to\infty$ . Lejos del origen $f(z)$ está cerca de $1/z^2$ por lo que el límite de esta integral de trayectoria es $R$ crece es ... Lejos del origen $g(z)$ está cerca de $1/z$ ...así que...

Edit(ver3 - las dos ediciones anteriores no fueron muy claras, lo siento): Otra forma de ver lo mismo sería pensarlo en la esfera de Riemann. El objetivo es demostrar que se cumple la condición de la respuesta de zyx. La clave es identificar las constantes $p,q,r$ como residuos de $f(z)\,dz$ en los respectivos polos.

Ambos $f$ y $g$ tienen límite cero en el infinito, por lo que están definidos y son holomorfos en el infinito. Así que cambia a la variable $w=1/z$ . Ahora $f(z)\,dz=f(1/w)\cdot(-1/w^2)\,dw$ de forma similar para $g$ . En el $w$ -Aplique su región $A$ consiste en los puntos con $|w|<1/4$ . Vemos que $$ f(1/w)\frac1{w^2}=\frac{(1/w)(1/w^2)}{(-1+1/w)(-2+1/w)(-3+1/w)}=\frac1{(1-w)(1-2w)(1-3w)} $$ es holomorfo en $A$ .

Por lo tanto, la integral de trayectoria de $f(1/w)w^{-2}\,dw$ a lo largo de un círculo $|w|=1/R, R>4$ es cero. Pero esta integral de trayectoria es igual (hasta el signo) a la integral de trayectoria de $f(z)\,dz$ a lo largo del círculo $|z|=R$ . Por lo tanto, esta última integral de trayectoria también es cero. Pero esto significa que la suma de los residuos de $f(z)$ en sus polos también es igual a cero, por lo que se cumplirá la condición de zyx, y podemos concluir que $f(z)$ tiene una primitiva en $A$ .

En cambio, con $g(1/w)w^{-2}$ las cosas no van tan bien. Todo porque los grados del numerador y del denominador _ ___ (rellene el espacio en blanco)

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Observación: El trozo de teoría general al que apunto aquí es que para cualquier función racional $f(z)=P(z)/Q(z)$ la suma de los residuos de $f(z)\,dz$ sobre la esfera de Riemann es siempre cero. Aquí el residuo en el infinito se define cambiando al parámetro local $w=1/z$ y estudiando la forma $f(1/w)\,d(1/w)=-f(1/w)w^{-2}\,dw$ en $w=0$ . Este resultado (bien conocido) se desprende del hecho de que un círculo grande adecuado hace un bucle en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor de todos los polos finitos. La sustitución anterior $w=1/z$ da la vuelta a la tortilla en el sentido de que los polos finitos están ahora fuera, y un eventual polo en $w=0$ es el único residuo que afecta a esta integral de la trayectoria modificada - con la trayectoria que ahora hace un bucle en el sentido de las agujas del reloj. Teniendo en cuenta el cambio de signo (debido al cambio de orientación del bucle) se obtiene el resultado.

El resto de los cálculos consistían en demostrar que si $\deg P(z)\le\deg Q(z)-2$ , entonces el residuo en el infinito es cero. Por lo tanto, la suma de los residuos en los polos finitos también tiene que ser cero. El extra $-2$ proviene de la necesidad de cambiar las variables locales. Profundizando, también podríamos decir que $-2(\infty)$ es un divisor canónico del campo de funciones racionales, pero dejémoslo aquí :-)

Editar $\#n$ : Todavía había errores de escritura. Cambiando a CW.