Esta es una gran pregunta. Alguien va a venir con una mejor respuesta estoy seguro, pero aquí es un poco fuera de la parte superior de mi cabeza:
1) La de Hilbert clase de campo de un campo de número de $K$ es la máxima de todas partes unramified abelian extensión de $K$. (Aquí cuando decimos "$K$" que significa realmente "$\mathbb{Z}_K$", el anillo de los números enteros. Es importante que en el lenguaje de etale mapas, porque cualquier finito separables de extensión de campo es etale.)
En el caso de una curva de más de $\mathbb{C}$, el "problema" es que hay infinitamente muchos unramified abelian extensiones. De hecho, el grupo de Galois de los tales es el abelianization de el grupo fundamental, que es libre de abelian de rango $2g$ ($g$ = género de la curva). Déjame llamar a este grupo G.
Esto implica que el cubrir el espacio de C correspondiente a la G tiene grado infinito, por lo que no es algebraica superficie de Riemann. De hecho, nunca he pensado realmente acerca de lo que parece. Es fundamental que el grupo es el colector de un subgrupo del grupo fundamental de la C, que creo que es un grupo libre de infinito valor. No creo que el campo de meromorphic de las funciones de este tipo es lo que quiere.
2) Por otro lado, la de Hilbert grupo de clase $G$ $K$ puede ser visto como el grupo de Picard de $\mathbb{Z}_K$, lo que clasifica a la línea de paquetes en $\mathbb{Z}_K$. Esto generaliza bien: el grupo de Picard de $C$ es un exension de $\mathbb{Z}$ $g$- dimensiones complejas torus $J(C)$, que tiene exactamente la misma abelian grupo fundamental como $C$ hace: de hecho, su primera homología de grupos son canónicamente isomorfo. $J(C)$ se llama el Jacobiano de $C$.
3) se sabe que cada finito unramified abelian cobertura de $C$ surge tirando hacia atrás de un isogeny de $J(C)$.
Así que hay motivos de reclamos para llamar a cualquiera de las $G \cong \mathbb{Z}^{2g}$ $J(C)$ Hilbert grupo de clase de $C$. Estos dos grupos son -- canónicamente, aunque yo no me di a explicar por qué -- Pontrjagin doble el uno al otro, mientras que un número finito de abelian grupo (no canónicamente) auto-Pontrjagin dual. [Esto sugiere que yo pueda haber hecho algo un poco mal anteriormente.]
En cuanto a lo que Hilbert campo de la clase debe ser, la analogía, no parece ser tan precisa. Proceder de la forma más literal que usted pueda tomar la directa límite de la función de los campos de todos los de la unramified abelian extensiones de $C$, pero que no se parezca a un buen campo.
Por último, permítanme señalar que las cosas salgan mucho más de cerca si usted reemplace $\mathbb{C}$ con un campo finito $\mathbb{F}_q$. A continuación, la de Hilbert campo de clase de la función de campo de la curva es de un número finito de abelian extensión de campo cuyo grupo de Galois es isomorfo a $J(C)(\mathbb{F}_q)$, el finito (!) grupo de $\mathbb{F}_q$-puntos racionales sobre el Jacobiano.
