¿hay una mejor clasificación de un álgebra deseable?

Question

Considere la posibilidad de un finito-dimensional, álgebra asociativa presenta de la siguiente manera: $$\mathcal{A} = e_1 \mathbb{R}\oplus e_2 \mathbb{R} \oplus \cdots \oplus e_n \mathbb{R}$$ con la multiplicación de la $*: \mathcal{A} \times \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{A}$ definido por linealmente ampliar $$\color{red}{ e_i *e_j = C_{ij}^ke_k \qquad \text{no summation over $k$ intended}.}$$ Por ejemplo, el producto directo de álgebra $e_i*e_j = \delta_{ij}e_i$ se ajusta a esta condición.

La claridad de la multiplicación es parte de una buena elección de la notación. Si yo tomo una base diferente, a continuación, la multiplicación podría obtener confusa. Por ejemplo, $\mathbb{R}^2$ con la conmutativa producto directo de álgebra es descrito por $e_1 *e_1=e_1$$e_2*e_2=e_2$$e_1*e_2=0$. Si yo en vez presentada la multiplicación por $f_1 = 2e_1+3e_2$$f_2=e_1+e_2$$f_1*f_1 = 5f_1-6f_2$.

Al parecer, podría ser dada un álgebra donde un cambio adecuado de la notación, podría inducir a la $\color{red}{\text{desired property}}$. Por el bien de esta pregunta, vamos a definir $\mathcal{A}$ como deseable iff existe alguna base $\{f_1,\dots f_n \}$ $\mathcal{A}$ tal que $f_i *f_j = C_{ij}^kf_k$ donde no suma es la intención de más de $k$.

Pregunta: ¿existe un término estándar para una deseable álgebra?

Por favor me apunte hacia un respetado de referencia para su término, si es posible. Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

Un multiplicativo base de un álgebra $A$ es una base $B\subseteq A$ tal que para todo $b_1$, $b_2\in B$ tendremos a $b_1b_2\in B$ o $b_1b_2=0$ -a veces, esto se extiende un poco, permitiendo que en la primera posibilidad que $b_1b_2$ ser un escalar múltiples de un elemento de $B$. En cualquier caso, esto es más general que el semigroup álgebras de que el proyecto de Ley menciona, porque estoy permitiendo que aquí la segunda opción.

Este es un bonito estándar noción que surge en el estudio de finito dimensionales álgebras. Hay un montón de álgebras con multiplicativo bases, la ruta de álgebra de un carcaj de ser un ejemplo básico. Por otra parte, la multiplicación de las bases se muestran en resultados muy importantes.

Un ejemplo: es un teorema que finito dimensionales álgebras de finito de representación de tipo multiplicativo bases; este es un muy difícil debido a R. Bautista, P. Gabriel, A. Roiter y L. Salmerón. El recíproco no es cierto, y hay álgebras de grupo, por ejemplo de la infinita representación de tipo.

Answer 2

Si un álgebra $\mathcal{A}$ ( $\mathbb{F}$ ) tiene una base $\beta=\{e_1,e_2,\dots\}$ tal que para todos los $i,j$ tenemos $e_ie_j=e_k$ algunos $k$, $\mathcal{A}=\mathbb{F}[\beta]$ es un semigroup álgebra. Si $\beta$ contiene una identidad (por lo que es un monoid), a continuación, $\mathcal{A}=\mathbb{F}[\beta]$ es un monoid álgebra. Si $\beta$ también tiene inversos, entonces (por supuesto) tenemos un buen grupo de álgebra.

Como para el $\beta$ sí, al igual que Julian, tengo tendencia a llamar a esa base multiplicativo. Pero no puedo decir que este es el estándar de la terminología. El término "multiplicativo" es muy usado en exceso.