¿Qué es una esfera cúbica?

Question

A grandes rasgos, un complejo cúbico es como un complejo simplicial, salvo que todas las piezas pegadas son cubos combinatorios de varias dimensiones. Una esfera cúbica es un complejo cúbico homeomorfo a una esfera. He encontrado artículos que distinguen entre esferas cúbicas y politopos cúbicos, pero no entiendo la distinción. ¿Existe ya una distinción en $\mathbb{R}^3$ ? En caso afirmativo, ¿podría alguien aportar algún ejemplo? Una referencia a definiciones claras también sería suficiente. Gracias.

Tengo entendido que, por ejemplo, el triacontaedro rómbico es a la vez un politopo cúbico y una esfera cúbica en $\mathbb{R}^3$ :
          
           _{<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Rhombic_triacontahedron" rel="nofollow noreferrer"> Imagen del artículo de Wikipedia</a>}

Answer 1

(Demasiado largo para un comentario): He aquí algunas reflexiones sobre este círculo de ideas aunque no estoy seguro de las distinciones que se han hecho con estos términos en la literatura. El diagrama que muestras es un 3-politopo cuya superficie está formada por cubos combinatorios bidimensionales, es decir, 4--gons. Sin embargo, no está claro que este 3-politopo o 3-politopos similares incluyendo sus puntos interiores puedan descomponerse siempre como 3-cubos que se encuentran a lo largo de las caras. La nota en esta página que habla de cubos combinatorios: http://www.york.cuny.edu/~malk/tidbits/n-cube-tidbit.html muestra un diagrama de un 4-cubo, pero también puede considerarse un 3-cubo cuyo interior ha sido dividido en otros 3-cubos combinatorios. En cuanto al toroide, hay algunos grafos que no se incrustan en una esfera, pero sí en un toroide. Ahora uno puede preguntarse si se puede incrustar en el espacio 3 una superficie (topológicamente un toro) con caras planas de modo que el grafo de vértice-borde de esta superficie sea el grafo dado. Cuando esto es posible, es común llamar a la superficie resultante un politopo toroidal. El adjetivo toroidal supera el uso de politopo para ser algo convexo.

Answer 2

Asumo que los politopos cúbicos son convexos, de lo contrario es fácil encontrar contraejemplos, por ejemplo, toros cúbicos.

En este caso, la distinción puede formularse del siguiente modo. Supongamos que tenemos un politopo cúbico convexo, que es homeomorfo a una bola, por lo que su frontera siempre es una esfera cúbica. Por tanto, el conjunto de los politopos cúbicos está contenido en el conjunto de las esferas cúbicas (en el sentido de la equivalencia combinatoria de su red de caras). La cuestión más interesante es si cada esfera cúbica es combinatoriamente equivalente a la frontera de un politopo cúbico convexo.

En tres dimensiones (o equivalentemente para $2$ -esferas) los politopos cúbicos y las esferas cúbicas coinciden. Dado cualquier cúbico $2$ -esfera, su $1$ -esqueleto es un grafo plano de 3 conexiones, por lo que podemos utilizar el Teorema de Steinitz para construir un politopo con el mismo tipo combinatorio.

Las cosas se complican en dimensiones superiores. No conozco un ejemplo explícito de un no-politopal $3$ -esfera en la cúbico pero el simplicial se ha estudiado ampliamente. Hay muchos ejemplos de $3$ -que no son combinatoriamente equivalentes a la frontera de cualquier $4$ politopo simplicial. La construcción típica utiliza un nudo en $3$ aristas dentro de la esfera simplicial. Si el nudo no es trivial, la esfera correspondiente no será conchable y, por tanto, no será politópica, ya que todo politopo es conchable. Véanse los teoremas 1 y 2 aquí . En el mismo artículo, Lutz da un pequeño ejemplo de una esfera no politópica en $13$ vértices. Creo que se podrían utilizar las mismas ideas partiendo del nudo de Furch cubo para obtener una 3-esfera cúbica no concha.