Probabilidad raíces de la cuadrática se encuentran en disco de la unidad

Question

$A,B\sim\mathscr{U}(0,1)$ e independiente. Consideramos:

$$x^2+2Ax+B=0$$

Dado que las dos raíces de esta ecuación son reales, ¿cuál es la probabilidad de que se encuentran en la unidad de disco?

Pensamientos: si $\lambda, \mu$ son las raíces, a continuación, he encontrado que ${\mathbb{P}(\lambda,\mu \in\mathbb{R})}=1/3$ por Bayes ley:

$$\mathbb{P}(|\lambda|\leq 1,\; |\mu|\leq 1)=3\cdot\mathbb{P}(\lambda,\mu\in [-1,1])$$ Actualización: tras rogerl sugerencia: $\mathbb{P}(\lambda,\mu \in [-1,1])=\mathbb{P}(2A-1-B\leq 0)$.

Set$W=2A-1-B$$Z=B$, a continuación, el Jacobiano es $\frac{1}{2}$ así:

$$f_{W,Z}(w,z)=\frac{1}{2}f_{A,B}(a(w,z),b(w,z))=\frac{1}{2}$$ Entonces:

$$\mathbb{P}(W\leq 0)=\frac{1}{2}\int_{?}^?\int_?^? dzdw$$ Es esta bien? Estoy atrapado en los límites de integración; mis pensamientos sobre estos fueron que la unidad de la plaza de la $A-B$ plano se correlacionan con la siguiente figura en la $W-Z$ avión:

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

La región de integración es entonces la región por debajo de la $Z$ eje, lo que da $\mathbb{P}(W\leq 0)=3/4.$ Esto no puede ser correcto, sin embargo, porque entonces la probabilidad deseada supera $1$. Alguna ayuda?

Answer 1

Por su ecuación de $x^2 + 2Ax + B = 0$, en el caso de los dos raíces reales es el discriminante debe ser positiva o $\boxed{A^2 > B}$

Además, las dos raíces deben estar dentro del círculo unidad, así que conseguir dos desigualdades:

$$ -1 < -A - \sqrt{A^2 - B} < -A + \sqrt{A^2 - B} < 1$$

Además, considere la posibilidad de $(A,B)$ como de manera uniforme un punto elegido de la unidad de la plaza de $[0,1]^2$. Usted está tratando de encontrar el área marcada por las desigualdades.

---

Numéricamente, he trazado la $A,B$ la satisfacción de su condición. Su probabilidad es el área de la siguiente figura, aproximadamente el 8,4%

---

El área bajo la parábola es $\mathbb{P}[\text{real roots}]=\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$ el área del triángulo es $$\mathbb{P}\big[\text{roots }\notin [-1,1] \bigcap \text{real roots}\big]=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{4}$$ Subtract one from the other $\boxed{\mathbb{P} = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{12} = 0.083\dots}$