No es igual a

Question

No puedo encontrar ninguna solución para esta desigualdad que se puede encontrar aquí

Ejercicio 1.3.5 Que $a,b,c$ ser positivo números verdaderos tales que $a+b+c=ab+bc+ca$ y $n \leq 3$. Demostrar que

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{3n}{a^2+b^2+c^2} \geq 3+n$$

Gracias :)

Answer 1

Haciendo uso de dado Consejo, $$ \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geq {(a + b +c)(a^2 + b^2 + c^2)\over ab + bc +ac} = {(a + b +c)(a^2 + b^2 + c^2)\over (a+b+c)} = a^2 + b^2 +c^2$ $ el valor mínimo de $a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c \geq 3 $ para los criterios.

Que ${a^2 + b^2 + c^2 = z}$ entonces $f(z, n) = z + {3n \over z}$ de $n \leq 3$ y $z \geq 3$ % $ $$f(z,n) = z + {3n \over z} \geq 6 \text{ for n=3}$$n < 3$el valor mínimo se presenta en $f'(z) = 0 \implies z = \sqrt{3n } < 3 \leq z$ así que otro más $f'(z \geq 3) > 0$ sugiero que $f(z)$ va en aumento. Por lo tanto, el valor de min debe ocurrir en $z=3$ que da el resultado deseado.