Google entrevista acertijo y los argumentos de escala

Question

Estoy perplejo por un enigma para el que me han dicho la respuesta, y me tiene un montón de dificultades para creer en el resultado.

El acertijo es el siguiente:

"imagínese que usted está reducido al tamaño de una moneda (es decir, que son, digamos, reducido por las dos órdenes de magnitud), pero su densidad sigue siendo el mismo. Usted se colocan en una licuadora de altura de 20 cm. La batidora va a empezar a trabajar en 60 segundos, lo que a hacer? "

Una de las mejores respuestas es, al parecer: "salto de la licuadora para escapar (sí la licuadora está todavía abierto por suerte)"

Esto parece ultra no intuitiva para mí y he tratado de encontrar fallos en esta respuesta, pero parece ser bastante robusto.

Hay dos maneras que usted puede pensar en él:

• la masa de las escalas de medida $\sim \: L^3$ y por lo tanto va a ser $10^6$ veces más pequeño. Si nos imaginamos que el despegue de la velocidad de $v_{toff}$ es el mismo que antes de ser reescalado $v_{big}$. Llegamos entonces a la altura a la que un mini nos puede saltar por equiparar el despegue de la energía cinética y la energía potencial, es decir,$mv_{toff}^2/2=mgh $ $\Rightarrow$ $h_{mini} = v^2_{big}/(2g) = h_{big} \sim 20 \rm cm$

• La segunda manera de ver es mirar más detalles sobre cómo la energía producida por los músculos de las escalas con el tamaño de los músculos. Básicamente, el poder de las escalas de la sección transversal del músculo, es decir, con el número de paralelos "cadenas" tirando de las articulaciones para contraer el músculo. Esto implica que $P_{mini}=P_{big}/\alpha^2$ ($\alpha$ siendo el factor más grande que 1, por la que se han reescalado). Sabemos que el despegue de la energía cinética será dado por $P \Delta t$. Suponemos ahora que $\Delta t \sim L/v_{big}$, de modo que $\Delta t_{mini} = L/(\alpha v_{big})$. En la final, este cálculo nos dice que $E_{mini} \sim E_{big}/\alpha^3$. Sin embargo, la equiparación de nuevo con el potencial de la energía para llegar a la altura tenemos $h_{mini} \sim E_{mini}/(m_{mini}g) = (E_{big}/\alpha^3)/(gm_{big}/\alpha^3)=E_{big}/(m_{big}g) = h_{big} \sim 20\:\rm cm$

Estos dos razonamientos parecen bastante justo y, sin embargo, no confío en el resultado al que conducen. Me gustaría saber si estoy experimentando pura negación debido a mis prejuicios, o si hay algún tipo de error en los razonamientos anteriores (por ejemplo, el hecho de que siempre se supone que la velocidad no se modifica al cambiar de escala).

También sé que algunos animales pequeños, puede saltar más o menos tan alto como seres humanos, pero parece que la mayoría de las veces, estas especies tienen uso de algún tipo de "truco" para almacenar energía elástica en su cuerpo con el fin de generar suficiente energía cinética en el despegue efectivamente jump super alta.

Si alguien tiene alguna idea sobre esto, que sería muy bienvenida.

Answer 1

Vamos a suponer que nuestro potencial gravitacional es cero en nuestro centro de masa antes del salto. Nuestra energía mecánica inicial es cero. Softonic nonconservative de trabajo para aumentar nuestra energía mecánica. A continuación, nuestros pies dejan el suelo y nuestra energía cinética disminuye hasta llegar a la altura de la $h$. Tenemos $$W_{\mathrm{nc}} = F d = \frac{1}{2}m v^2 + m g d = m g h.$$ Por lo tanto, $$h = \frac{F d}{m g}.$$

La fuerza es proporcional al área de masa y de volumen de modo que la fuerza relativa es inversamente proporcional a la longitud, $F/m = k/L$. (Tome $L$ a nuestra altura, por ejemplo). Además, la distancia de viaje antes de salir de la tierra es proporcional a $L$, $d = k' L$. Por lo tanto, $$h = \frac{k/L \times k'L}{g} = \mathrm{const}.$$ Por lo tanto, vamos a saltar tan alto como se había saltado antes de que se nos ha encogido! Desde una licuadora tamaño de salto es un modesto para un hombre normal, debemos ser capaces de saltar sin demasiada dificultad.

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Addendum: He aquí un simple argumento de por qué el poder escalas como la fuerza. Para la aceleración constante y una velocidad inicial nula $v^2 = 2 a d$. Por lo tanto, $F = m a = m v^2/(2 d)$ y así $$v = \sqrt{\frac{2 F d}{m}} \propto \sqrt{\frac{L^2\times L}{L^3}} = 1.$$ Por lo tanto, la potencia instantánea escalas como la fuerza, $$P = F v \propto L^2\times 1 = L^2.$$

Un hecho clave con respecto a la escala de la fuerza que puede no ser evidente es que asumimos que las fibras musculares tienen un tamaño que no se escala con $L$. (Esto es cierto de los seres humanos de diferentes alturas y debe hacer sentido intuitivo, los animales más pequeños no están hechas de moléculas más pequeñas.) Por lo tanto, de una pierna con una pequeña sección transversal tiene menos fibras---el área de la sección transversal esencialmente los recuentos de las fibras.

Answer 2

Piense en ello como esto: con el fin de obtener todas las longitudes (es decir, de su propia longitud, así como la altura de su salto) a escala por un factor de $\alpha$, manteniendo la velocidad de contracción de los músculos al mismo, usted tiene que cambiar la escala de todas las longitudes y todas las veces que ocurren en el problema. Eso significa que usted tiene que reducir la escala de la gravedad (longitud a lo largo del tiempo al cuadrado) por un factor de $\alpha/\alpha^2= 1/\alpha$.

En otras palabras: si usted puede saltar hasta la mitad de su propia altura, después de un descenso lineal de tamaño por un factor de 100, usted todavía podría ser capaz de saltar de la mitad de su altura en un planeta con 100 veces la aceleración de la gravedad de la tierra.

Así que efectivamente lo que se supone es que se puede llegar a una constante física cuando se escala hacia abajo toda la longitud y en todas las escalas de tiempo por un factor de $\alpha$, y su masa por un factor de $\alpha^{-3}$. La adimensional altura de salto (salto de altura dividido por la altura del cuerpo) permanece invariante bajo este descenso de la operación. Sin embargo, el punto es que en este escenario, usted también tiene que cambiar la escala de la aceleración de la gravedad (longitud a lo largo del tiempo^2) por un factor de $\alpha^{-1}$. No hace falta decir que si usted no hace esto y mantener la aceleración de la gravedad tan débil como lo es antes de escalar, usted será capaz de saltar mucho más alto en términos de su propia altura del cuerpo.

Answer 3

Muchos de los supuestos simplificadores de la realidad debe hacerse para llegar a los resultados que usted está buscando (y que las otras respuestas dio). Voy a tratar de dar mi propia 2 centavos de dólar. Espero que algo incorrecto, aquí serán corregidos por otros usuarios - yo soy todo tratando de solucionar algunos de los problemas y la confusión con estos supuestos.

Al saltar, se baja el centro de masa por una distancia de $d$, y, a continuación, los músculos se contraen y se extiende en diversas formas para empujar a su centro de masa hasta dejar el suelo. Toda la energía que se obtiene gastado en el salto se convierte en energía cinética, $\frac{1}{2}mv^2$, y, a continuación, en la que la energía se convierte a la energía potencial, $mgh$. Cuando llegues a la altura de la $h$, está en la cima de su salto.

Su [estriado] los músculos se componen de secciones denominadas músculo ramifloros, que contienen muchas fibras musculares, y que el interior de las fibras musculares hay muchas miofibrillas (así como de otras cosas, pero las miofibrillas son lo que nos interesa). Cada miofibrilla puede ser considerado como una colección de pistones (sarcómeros) (más detalles de los/las complicaciones que voy a decir en el párrafo siguiente). Al final, su cuerpo se compone de un montón de "pistones" (fibras musculares) que, en conjunto, como un conjunto de pistones, hacer un gran pistón, (todo su cuerpo).

Cuando un "músculo" de los contratos y/o se expande, lo que sucede es que hay son en realidad pequeños sistemas conocidos como las miofibrillas que componen sus fibras musculares que son de corredera y de la contratación de sus componentes, en la foto grande, relajarse o la tensión de los músculos que ellos (los miofibrillas maquillaje).

Aquí es donde surge un problema. ¿Qué es exactamente lo que queremos decir con la escala de abajo? Ciertamente, usted no sólo puede reducir el tamaño de un átomo sin cambiar aspectos fundamentales del universo que usted está considerando. Uno no puede simplemente reducir el tamaño de las miofibrillas, ya que los nervios y las proteínas que funcionan por que no puede ser reducido sin cambiar un aspecto fundamental del universo en el que estamos considerando. Por lo tanto, la única noción de escala hacia abajo que puede instalarse en está reduciendo en cantidad. Para un músculo, esto significa literalmente la disminución del número de fibras musculares.

A partir de esta asunción/consideración, podemos ver que la fuerza que se puede aplicar es esencialmente proporcional a la sección transversal del músculo (es decir, el número de fibras musculares en el músculo), pero no exactamente. Ya hemos acordado que es el número de fibras musculares que están disminuyendo, no fundamentales de tamaño/forma, una escala en la longitud de las miofibrillas (y, por lo tanto, y la escala de la longitud de los componentes de los sarcómeros) sin duda podría tener un impacto en su actividad (es decir, la fuerza máxima de los pistones pueden aplicar). De hecho, este es el caso. Interesante comportamiento no-lineal se observa entre la longitud de los sarcómeros y su respectiva actividad.

Ahora hemos de ejecutar en otro problema con nuestro simplificación de la suposición de que el escalado hacia abajo significa que la reducción en el número. Sin embargo, si damos un paso fuera de la realidad, incluso más allá y supone que la actividad de los sarcómeros no son afectados por su longitud, a continuación, los resultados de las otras respuestas siga inmediatamente. Voy a estado con ellos ahora.

El trabajo que usted hace cuando usted saltar fuera de la tierra está dada por $Fd$ donde $F$ es la fuerza que puede aplicar y $d$ es la distancia de su centro de masa se cubre con respecto a su inicial posición de pie. Esto, suponiendo un caso ideal, todo se convierte en energía cinética, que se convertirán en energía potencial cuando alcance la cima de su salto, en el que su energía potencial será $mgh$ donde $m$ es su masa, $g$ es el que supone una aceleración constante hacia abajo debido a la gravedad, y $h$ es la altura máxima que alcanzan.

$$Fd=mgh \implies h=\frac{Fd}{mg}$$

Si su volumen es reducido por un factor de $k^3$ ($k$ en cada dirección de la base canónica de $\mathbb{R}^3$, WLOG), entonces (suponiendo que no hay cambio en la masa-densidad), su masa también de bajar por $k^3$. Por las suposiciones hechas en los párrafos anteriores, la fuerza aplicada a saltar fuera de la tierra se reducirá sólo por un factor de $k^2$ (escala aproximada de la cantidad de músculo ramifloros), y, obviamente, la distancia a la que se desplazan a su centro de masa se escala por $k$. Por lo tanto,

$$h'=\frac{(k^2F)(kd)}{(k^3m)g}=\frac{Fd}{mg}=h$$

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He omitido muchos cálculos, por ejemplo, cómo el cambio no lineal en la eficacia de la máxima fuerza de pistón " afecta la altura que puede saltar. Sin embargo, al leer que el papel que hace referencia, aún creo que uno sería capaz de "saltar fuera de la licuadora", pero no estoy completamente seguro, es que no puede ser así de simple. Si alguien puede añadir a esto, sería muy apreciado.

Answer 4

Considere la posibilidad de una fibra muscular como una fina varilla de la "constante de resorte" $K=YA/L$. $Y$ es el módulo de elasticidad. La energía almacenada como potencial = $\frac{1}{2}$ estrés $\times$ cepa $\times$ volumen. cual es proporcional al cubo de la longitud. Ahora salto de altura alcanzan = energía/ (masa * g), de ahí el salto de altura sigue siendo sin cambios!

Answer 5

La ampliación de los argumentos anteriores son correctas, lo cual es consistente con el hecho de que los animales de muy diferentes tamaños - de una pulga un elefante - saltar a una altura del orden de 1 metro. Tal vez los insectos son diferentes de mamíferos; así que vamos a decir un ratón frente a un elefante que es legítimo el ejemplo de escala (por sobre 100 en la dimensión lineal) de una bastante similar organismo - pero ambos saltar a aproximadamente la misma altura.