Supongamos que $f\in\mathbf{C^2}(\mathbb{R})$ y es periódica con período $2\pi$. Demostrar que la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente en cualquier intervalo finito.

Question

Supongamos $f\in\mathbf{C^2}(\mathbb{R})$ y es periódica con período de $2\pi$. Demostrar que la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente en cualquier intervalo finito.

Mi intento:

$|a_n~\cos(nx)+b_n~\sin(nx)|\le|a_n|+|b_n|$. Así, por M-test, sólo tenemos que mostrar $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|$ converge.

$$\begin{equation}\begin{aligned} a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi~f(x)~\cos(nx)~dx &= -\frac{1}{n\pi}\int_{-\pi}^{\pi}~ f'(x)~\sin(nx)~dx \\ &=\frac{1}{n^2\pi}~ f'(x)~\cos(nx)~dx\Bigg|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{n^2\pi}~f''(x)~\cos(nx)~dx\\ \end{aligned}\end{equation}$$ $$=\frac{1}{n^2\pi}[f(\pi)~\cos(nx)-f(-\pi)~\sin(nx)]+\frac{1}{n^2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f''(x)~\cos(nx)dx$$

$f\in\mathbf{C^2}(\mathbb{R})\Rightarrow |f|,|f''|\leq K$ $[-\pi,\pi]$ algunos $K$.

Podemos obtener $a_n\leq \frac{4K}{n^2}$. Del mismo modo, $b_n\leq\frac{4M}{n^2}$. Por eso, $M_n=\displaystyle\sum_{n=1}^\infty |a_n|+|b_n|$ converge.

Así, la serie de Fourier $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty [a_n~\cos(nx)+b_n~\sin(nx)]$ converge unifomly.

Es mi prueba correcta? Parece que para cualquier $x\in \mathbb{R}$, la serie de Fourier converge uniformemente. Por qué no podemos concluir que la serie de Fourier de $f$ converge uniformemente en $\mathbb{R}?$

Answer 1

En primer lugar, demostrar que si $f \in C^{(k)}(\mathbb{R})$ a continuación, puede probar que $\hat{f}(n)$ obedece a la siguiente: $$ \hat{f}(n) = o\left(\frac{1}{|n|^k}\right). $$

Para ver por qué esto es cierto, tenga en cuenta que $\hat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \hat{f}(n)$. Por Riemann-Lebesgue lema, como $|n|\to\infty$, $\hat{f}(n)\to 0$, llegamos a la conclusión.

Ahora, teniendo en cuenta esto, debemos llegar a un resultado. Deje $N^{th}$ suma parcial dado por: $$ S_N(f)(x) = \sum_{k=-N}^N\hat{f}(k)e^{ikx}. $$

Ahora, tenga en cuenta que para cualquier $N \neq M$, $|S_N(f)(x) - S_M(f)(x)|$ se calcula a través de $$ |S_N(f)(x) - S_M(f)(x)| = \left|\sum_{M+1\leq |n|\leq N}\hat{f}(n)e^{inx}\right|\leq \sum_{M+1\leq |n|\leq N}|\sombrero{f}(n)|\underbrace{|e^{inx}|}_{=1} = \sum_{M+1\leq |n|\leq N}|\sombrero{f}(n)| $$

y $\sum_{M+1\leq |n|\leq N}|\hat{f}(n)|\to 0$ $N,M\to \infty$ (esto se deduce del hecho de que $\hat{f}(n)$ es un summable secuencia, debido a la caracterización de arriba). Por lo tanto, $S_N(f)(x)$ converge uniformemente.

Answer 2

Su prueba es (casi) correcta, hay algunos errores de cálculo (la segunda línea no tiene la integral, y la tercera línea, misteriosamente, se intercambian la derivada de la función y apareció un seno, mientras que también no evaluar la $\pi$$-\pi$).

Y, de hecho, usted tiene convergencia uniforme en toda la recta real. Sólo un detalle y una observación: esto sucede porque el límite de términos de la integración por partes se desvanecen, y esto es debido al hecho de que la función es $2\pi$-periódico.

La observación es que es importante tener en cuenta que esto demuestra la serie de Fourier converge uniformemente, pero no demostrar que converge uniformemente a $f$. De hecho converge a $f$, pero necesita la densidad de las funciones trigonométricas en $L^2(S^1)$ o algo de esta naturaleza (por ejemplo, la densidad de población en $C^0(S^1)$ sería suficiente, ya que su función es $C^2$) para probar esto.