Lo que yo sé
Sé que a partir de los axiomas de Peano que el conjunto vacío es equivalente al número natural $0$, y que el singleton de que el conjunto vacío es equivalente al número natural $1$. ( http://www.proofwiki.org/wiki/Peano%27s_Axioms_Uniquely_Define_Natural_Numbers , http://www.proofwiki.org/wiki/Axiom:Peano%27s_Axioms)
Sé de Kuratowski que el conjunto $\{\{A\}\}$ es equivalente a la par ordenado $\langle A,A\rangle$.
Lo que quiero saber
Hay interpretaciones alternativas de la $\{\{A\}\}$ otros de Kuratowski?
¿Cómo podemos expresar un orden homogéneo triple (por ejemplo, Serían $\langle A,A,A\rangle$ equivalente a $\{\{\{A\}\}\}$?)
Parece que el conjunto $\{\{\varnothing\}\}$ puede ser interpretado como $\{1\}$ o $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$. Debe $\{\{\{\varnothing\}\}\}$ ser interpretado como $\langle\varnothing,\varnothing,\varnothing\rangle$ o $\langle 1,1\rangle$. Es posible que estas tuplas son, en cierto modo equivalente?
Nota, re: los Axiomas de Peano Mi comprensión de los axiomas de Peano es consistente con la formulación en WolframAlpha, que se expresa como el 5 postulados:
- $0$ es un número.
- Si $a$ es un número, el sucesor de $a$ es un número.
- $0$ no es el sucesor de un número
- Dos números de los que los sucesores son iguales son iguales a sí mismos.
- Si un conjunto $S$ de números contiene cero y también el sucesor de cada número en $S$, entonces cada número en $S$.
Estos axiomas se expresan en el conjunto de la notación en http://www.proofwiki.org/wiki/Axiom:Peano%27s_Axioms / http://www.proofwiki.org/wiki/Peano%27s_Axioms_Uniquely_Define_Natural_Numbers .