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¿Qué interpretaciones existe para el singleton singleton del conjunto vacío $\{\{\varnothing\}\}$ y su % de singleton $\{\{\{\varnothing\}\}\}$?

Lo que yo sé

  1. Sé que a partir de los axiomas de Peano que el conjunto vacío es equivalente al número natural $0$, y que el singleton de que el conjunto vacío es equivalente al número natural $1$. ( http://www.proofwiki.org/wiki/Peano%27s_Axioms_Uniquely_Define_Natural_Numbers , http://www.proofwiki.org/wiki/Axiom:Peano%27s_Axioms)

  2. Sé de Kuratowski que el conjunto $\{\{A\}\}$ es equivalente a la par ordenado $\langle A,A\rangle$.

Lo que quiero saber

  1. Hay interpretaciones alternativas de la $\{\{A\}\}$ otros de Kuratowski?

  2. ¿Cómo podemos expresar un orden homogéneo triple (por ejemplo, Serían $\langle A,A,A\rangle$ equivalente a $\{\{\{A\}\}\}$?)

  3. Parece que el conjunto $\{\{\varnothing\}\}$ puede ser interpretado como $\{1\}$ o $\langle\varnothing,\varnothing\rangle$. Debe $\{\{\{\varnothing\}\}\}$ ser interpretado como $\langle\varnothing,\varnothing,\varnothing\rangle$ o $\langle 1,1\rangle$. Es posible que estas tuplas son, en cierto modo equivalente?

Nota, re: los Axiomas de Peano Mi comprensión de los axiomas de Peano es consistente con la formulación en WolframAlpha, que se expresa como el 5 postulados:

  1. $0$ es un número.
  2. Si $a$ es un número, el sucesor de $a$ es un número.
  3. $0$ no es el sucesor de un número
  4. Dos números de los que los sucesores son iguales son iguales a sí mismos.
  5. Si un conjunto $S$ de números contiene cero y también el sucesor de cada número en $S$, entonces cada número en $S$.

Estos axiomas se expresan en el conjunto de la notación en http://www.proofwiki.org/wiki/Axiom:Peano%27s_Axioms / http://www.proofwiki.org/wiki/Peano%27s_Axioms_Uniquely_Define_Natural_Numbers .

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DanV Puntos 281

En primer lugar, permítanme corregir un error en la primera línea. Los Axiomas de Peano son acerca de los números. Ellos no saben lo que son conjuntos. De hecho, la mayoría de las personas consideran que PA ser un "buen" axiomatization para los números naturales, pero muchas personas no les importa si es o no esos números se establece o no.

Es el común del conjunto teórico de la interpretación de los axiomas de Peano de los que entendemos el conjunto vacío como $0$.

Antes de proceder también debo agregar que Zermelo la interpretación de PA se que $n+1=\{n\}$ (puedes leer más sobre esto aquí: La historia de la teoría de las definiciones de $\mathbb N$). En esta interpretación: $$0=\varnothing; 1=\{0\}=\{\varnothing\}; 2=\{1\}=\{\{\varnothing\}\}; \dots$$

Esto en adición a la interpretación de $\{\{\varnothing\}\}$$\langle 0,0\rangle$$\{1\}$.

Permítanme responder a sus preguntas de una en una:

  1. Sí. Se puede interpretar $\{A\}$ como nada le gustaría interpretar, siempre y cuando sea coherente con la forma de interpretar otras cosas también. No hay nada de particular en cómo Kuratowski interpretado pares ordenados, o cómo von Neumann interpretado ordinales (y de los números naturales). Ellos eran muy conveniente interpretaciones, por lo que se han pegado y se convirtió en la convención.

  2. Kuratowski la idea de expresar los pares ordenados en realidad vino como una idea general, podemos identificar un linealmente conjunto ordenado con sus segmentos inicial. Si pensamos en un par ordenado como "primer elemento, $a$; el segundo elemento, $b$" entonces los segmentos inicial son exactamente $\{\{a\},\{a,b\}\}$.

    Para representar un orden triplete por lo tanto, le gustaría escribir $\langle a,b,c\rangle$$\{\{a\},\{a,b\},\{a,b,c\}\}$. Sin embargo, ahora tenemos un verdadero problema de interpretación, si $a=b=c$, en tanto $\langle a,a,a\rangle$ $\langle a,a\rangle$ se expresa como $\{\{a\}\}$. Debido a que el "atomic" el objeto es un par ordenado, de la cual se generan las funciones y el tratamiento de trillizos indexados por un conjunto ordenado de forma natural como $\{0,1,2\}$.

    También estamos de acuerdo en que $\langle a,b,c\rangle$ es un corto de $\langle\langle a,b,\rangle, c\rangle$ (o cualquier otra composición de pares ordenados) y, a continuación, $\langle a,a,a\rangle$ es realmente $\langle\langle a,a\rangle,a\rangle=\{\{\{a\}\},\{\{\{a\}\},a\}\}$.

    Su sugerencia para interpretar $\langle a,a,a\rangle$ $\{\{\{a\}\}\}$ podría ser útil en este caso, pero, ¿cómo habría que traducir a $\langle a,b,c\rangle$ al $a,b,c$ son necesariamente iguales? Queremos definiciones que ser coherente y tan general como sea posible.

  3. Hablamos un poco de lo $\{\{\varnothing\}\}$ puede ser interpretado como, y como antes de $\{\{\{\varnothing\}\}\}$ puede ser interpretado de muchas maneras diferentes, simplemente tiene que ser compatible con nuestra forma de interpretar otras cosas también.

    Si estamos de acuerdo en que $\{\{\varnothing\}\}=\{1\}$$\{\{\{\varnothing\}\}\}=\{\{1\}\}=\langle1,1\rangle$, por ejemplo.

Con todo, este es un buen ejemplo para los "errores de tipo" cuando se piensa en términos de conjuntos. Al igual que cuando se escribe código en asamblea ambos números y la cadena son los mismos.

10voto

sewo Puntos 58

Si usted está tomando la Kuratowski par ordenado definición demasiado en serio. No tiene ningún intrínseco significado intuitivo, y, en particular, no nos dice nada profundo acerca de los conjuntos se elige para representar par ordenado. Su única función es como un detalle técnico en la prueba de

ORDENÓ PAR METATHEOREM. No existe una fórmula $\phi(x,y,p)$ con tres variables que

  • Para todos los $x$ $y$ no es exactamente una $p$ tal que $\phi(x,y,p)$.
  • Si $\phi(x,y,p)$$\phi(x',y',p)$,$x=x'$$y=y'$.

son teoremas de la teoría de conjuntos.

En todo el resto del desarrollo de la teoría de conjuntos (incluyendo la formulación de varios de los axiomas), y de el desarrollo de el resto de las matemáticas como una aplicación de la teoría de conjuntos, nos olvidamos completamente de la fórmula esta $\phi(x,y,p)$ es en realidad y sólo tienes que escribir como $\langle x,y\rangle=p$ lugar.

Esta consiste en tomar cuidado de que nunca dependen de las propiedades de los pares ordenados distintos de lo que el metatheorem garantías -- en particular, nunca la ponemos pares ordenados y otras cosas en el mismo conjunto y esperar a ser capaz de distinguirlos más tarde, porque a priori, nada podría ser un par. Podríamos haber demostrado la orden de par metatheorem para diferentes $\phi$ -- por ejemplo, uno que representa a la par en particular $\langle \omega_3,\{42,19\}\rangle$ $\varnothing$ y todo lo demás como Kuratowski pares en orden inverso -- y que no debe hacer ninguna diferencia para el resto del desarrollo.

Así que, sí, es verdad en un sentido técnico que $\langle 0,0\rangle $ and $\{1\}$ son el mismo conjunto. Pero eso es sólo una coincidencia-un detalle de implementación - y deliberadamente no dependen de los detalles cuando hacemos matemáticas.

Hace muy buen sentido, como Asaf sugiere, a ver esto como un tipo de sistema. En ese punto de vista, preguntando si $A=B$ cuando conocemos $A$ como un par ordenado, y $B$ como un conjunto con miembros en particular, es un tipo de error que se produce una dependiente de la implementación (incluso si definitivo) valor de verdad.

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