Demostrar que la siguiente integral impropia converge %#% $ #%
Veo que usted puede demostrar esto usando la prueba de convergencia de Dirichlet, pero ¿cómo se mostraría no utilizando esta prueba?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tiene dos temas a tratar. En primer lugar, es $\int_1^{1.1}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx$ convergente? Segundo, es $\int_{1.1}^{\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx$ convergente?
La primera integral golpes arriba del lado izquierdo en su punto final. Pero podemos demostrar que para algunas constantes $C$, $\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}<\frac{C}{\sqrt{x-1}}$ para$x$$(1,1.1)$. Entonces, por comparación directa, esta pieza es convergente. El numerador $\sin(x)$ es claramente positiva y menos de $1$. Por lo que sería necesario mostrar que $\log x>k(x-1)$ para algunas constantes $k$, para todos los $x\in(1,1.1)$. Usted puede hacer esto de la manera estándar, señalando ambos son iguales en $x=0$ y la comparación de los derivados.
La segunda integral se descompone en una secuencia alternante de las integrales $$\int_{1.1}^{\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx+\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx$$ By the alternating test for integrals, we need to check that $\lim_{n\to\infty}\left|\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx\right|=0$. Esto es cierto, ya que $$\begin{align} \left|\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx\right|&<\frac{1}{\sqrt{\log(n\pi)}}\left|\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\sin(x)\,dx\right|\\ &=\frac{2}{\sqrt{\log(n\pi)}}\end{align}$$ Joriki me recordó que la alternancia de serie de la prueba también se requiere que los valores absolutos de las integrales estar disminuyendo. (De lo contrario usted podría tener decir, el positivo integrales bajando como $1/n$ con la negativa de ir abajo como $1/2^n$, y la cosa entera se aparta.) Así que debemos revisar que $$\begin{align} \left|\int_{n\pi}^{n\pi+\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx\right|&>\left|\int_{n\pi+\pi}^{n\pi+2\pi}\frac{\sin x}{\sqrt{\log x}}\,dx\right|\end{align}$$, que es cierto, ya que el numerador de la función sólo repite otro período con los mismos valores, mientras que el denominador de la función se hace más grande.
