Problema de Olimpiada trata de encontrar el valor mínimo de $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2y^2z^2$

Question

Que $x,y,z$ ser positivo números verdaderos tales que $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2y^2z^2$.

Encontrar el valor mínimo de $$\frac{x^2y^2} {z^3(x^2+y^2)}+\frac {y^2z^2} {x^3(y^2+z^2)}+\frac {z^2x^2} {y^3(z^2+x^2)}$ $ estoy seguro de que la respuesta sería $\frac {\sqrt {3}} {2}$, cuando todos los parámetros de $\sqrt {3}$. Pero no podía comprobarlo después de algunas horas de pensamiento. ¿Así que alguien me puede ayudar? Cualquier ayuda sería bienvenida. Gracias: D.

Answer 1

Que $$a=\dfrac{1}{x},b=\dfrac{1}{y},c=\dfrac{1}{z},a^2+b^2+c^2\ge 1$ $ uso Cauchy-Schwarz $$\sum_{cyc}\dfrac{x^2y^2}{z^3(x^2+y^2)}=\sum_{cyc}\dfrac{c^3}{(a^2+b^2)}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{c(a^2+b^2)+a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)}$ $ desde $$c(a^2+b^2)+a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)\le\dfrac{2}{3}(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\le\dfrac{2}{\sqrt{3}}(a^2+b^2+c^2)^{\frac{3}{2}}$ $ así $$LHS\ge \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\ge\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $