Si dos enteros triples tienen la misma suma de 6 de poderes, sus sumas de cuadrados de acuerdo $\bmod 9$

Question

Dado $$a^6 + b^6 + c^6 = x^6 + y^6 + z^6$$

demostrar que $$a^2 + b^2 + c^2 - x^2 - y^2 - z^2 \equiv 0 \bmod{9}$$

Yo estaba pensando en usar $n^6 \pmod{27}$ y mostrando ambos lados tienen el mismo patrón, pero es muy confuso..

Answer 1

$(9n+a)^6=a^6\bmod27$,
tan sólo se preocupan acerca de los números entre el$-4$$4$.
Su sexto poderes son $19,0,10,1,0,1,10,0,19\pmod{27}$
y sus plazas se $7,0,4,1,0,1,4,7\pmod{9}$
La sexta poderes son o $0$ o $9A+1$; las plazas son o $0$ o $3A+1$, el mismo $A$.

Answer 2

Escribir $$ a^6+b^6+c^6-x^6-y^6-z^6 = (a^2-x^2)(a^4+a^2x^2+x^4) + (b^2-y^2)(b^4+b^2y^2+y^4) + (c^2-z^2)(c^4+c^2z^2+z^4) ; $$ por Thomas comentario, también podemos pareja de tal manera que $a,x$ son tanto $\equiv 0\bmod 3$ o ambos $\not\equiv 0\bmod 3$, y del mismo modo para $b,y$$c,z$.

La no-cero plazas $\bmod 9$$1,4,7$, y ahora un poco de experimentación muestra que $a^4+a^2x^2+x^4\equiv 3\bmod 9$ si $a,x\not\equiv 0\bmod 3$. Así, la expresión de arriba se convierte en $$ 3(a^2-x^2+b^2-y^2+c^2-z^2) $$ cuando se consideran las $\bmod 9$; tenga en cuenta que esto también es correcto cuando el otro caso ($a,x\equiv 0\bmod 3$) se aplica. Ya que la diferencia de las sumas de cuadrados se $\equiv 0\bmod 3$ (por Thomas comentario de nuevo, y desde $u^2\equiv 1\bmod 3$$u\not\equiv 0\bmod 3$), la afirmación de que sigue ahora.