Radical de prime ideal localización homogénea es primer

Question

Deje $B$ ser gradual anillo, $B=\oplus_{d\ge 0} B_d$. Si $f\in B$ es homogénea, dejamos $B_{(f)}$ el valor del sub-anillo de $B_f$ compuesto de los elementos de la forma $af^{-N}$, $N>0$, donde $a$ es un elemento homogéneo con $\deg a=N\deg f$. Esta es la homogeneidad de la localización. Tenga en cuenta que $B_f$ $B_{(f)}$- graduada de álgebra.

Al leer acerca de la construcción de esquemas proyectivos, me he encontrado con la afirmación de que si $\mathfrak q$ es un primer ideal de $B_{(f)}$, $\sqrt{\mathfrak q B_f}$ es homogénea primer ideal de $B_f$.

¿Cómo demostrarlo? Que supuestamente es fácil una vez que uno se hace de la reducción a considerar solamente homogéneos al comprobar la primalidad de la condición, pero no veo cómo hacer que la reducción, ni cómo continuar.

Answer 1

Muy incompleto en el post ya que el argumento es largo y tengo que ejecutar.

El primero es demostrar que un ideal homogéneo $I$ es primo si y sólo si $xy \in I$ $x, y$ homogéneo implica $x, y \in I$. "Sólo si" la dirección es la más interesante. Sólo voy a dar la idea del argumento: escribir general de elementos como las sumas de sus componentes homogéneos $x = x_d + x_{d - 1} + \cdots$$y = y_e + y_{e - 1} + \cdots$; si $xy \in I$$x_dy_e \in I$. A seguir adelante.

Debe quedar claro que $\sqrt{\mathfrak{q}B_f}$ es homogénea: $\mathfrak{q}B_f$ es generado por el grado $0$ elementos y el radical de un ideal homogéneo es homogénea. La prueba de esto último es similar a la prueba anterior. Es un poco molesto para comprobar que es el primer pero podemos hacerlo.

Sólo para simplificar la notación: es suficiente para comprobar que si he a $x, y \in B_f$ homogéneo de grados $d, e$$xy \in \mathfrak{q}B_f$, a continuación, uno de $x, y$$\sqrt{\mathfrak{q}B_f}$. Deje $k$ es el grado de $f$. Si $xy \in \mathfrak{q}B_f$$(xy)^n/f^{d + e} = (x^n/f^d)(y^n/f^e) \in \mathfrak{q}B_f \cap B_{(f)} = \mathfrak{q}$. Recuerde que $\mathfrak{q}$ es primo!