Dos definiciones de simplemente conectado

Question

Yo estoy mostrando que la primera definición que aquí se implica en la segunda (la otra implicación es obvia). Mis pensamientos: Vamos a $p,q$ ser de dos trayectorias en el espacio de $X$. Entonces a partir de la $X$ es la ruta de acceso conectado hay dos caminos $f,g$ conectar los dos extremos de $p,q$ respectivamente. La concatenación de $q.g.p.f$ es un mapa de $S^1 \to X$ y por supuesto se extiende continuamente a algunos $F : D^2 \to X$.

Aquí es donde estoy atascado. Puede ser que ni siquiera el derecho de las ideas que tengo. Puede usted ayudarme por favor?

Answer 1

Como en la segunda definición, tomar dos caminos $p:[0,1]\rightarrow X$ $q:[0,1]\rightarrow X$ que tienen los mismos puntos de inicio y final, vamos a $\tilde{q}$ denotar el camino inverso, es decir, el que va en la otra dirección, por lo $p(1)=\tilde{q}(0)$. La concatenación de camino de $p\cdot \tilde{q} :[0,1]\rightarrow X$ satisface $p\cdot \tilde{q}(0)=p\cdot \tilde{q}(1)$, por lo que es equivalente a un mapa de $p\cdot \tilde{q}: S^1\rightarrow X$. Intuitivamente, este mapa no $p$ en la mitad del círculo y $\tilde{q}$ en la otra mitad.

La primera definición de ahora nos dice que $p\cdot \tilde{q}$ se extiende a un mapa de $F:D^2\rightarrow X$, donde podemos pensar de $p$ asignación de un lado de la frontera y $q$ asignación de la otra. Ahora definir un homotopy de $p$ $q$por "mover a través de" el disco de $D^2$$F$. Para escribir esto, sucintamente, podemos escribir $F$

$F:[0,1]\times[0,1]\rightarrow X$

con $F(0,t)=F(1,t)$ todos los $t\in[0,1]$. Luego de definir el homotopy $F_t$$p$$q$$F_t(s)=F(s,t)$. Este es, sin duda continua, corrige $\{0,1\}$ (por lo que es una homotopy rel $\{0,1\}$) y que satisface a $F_0=p$ $F_1=q$ por la construcción.

Answer 2

Asume que los caminos tienen longitud $1$ WLOG. Considerar $w:[0,1]\rightarrow \mathbb{S}^1$enviar $x$ a $(\cos(\frac{x}{2\pi}),\sin(\frac{x}{2\pi}$)). Verificar que el $w$ es un mapa de identificación. $f:\mathbb{S}^1\rightarrow X$ $(m,n)$ $(-q+p)[arctan(\frac{m}{n})]$ Que tener en cuenta. Verificar que el $fw=-q+p$. $w$ Es un mapa de identificación y $-q+p$ es continua. Por lo tanto $f$ es una función continua. Por lo tanto, existe una función continua $F:D^2\rightarrow X$ tal que $F|\mathbb{S}^1=f$. Ahora recuerdo que $D^2\cong [0,1]\times[0,1]$. Que $h:D^2\rightarrow [0,1]\times [0,1]$ sea un Homeomorfismo. Verificar que el $h^{-1}F$ es una homotopía de $p$ $q$.