Si $G$ es un grupo finito y $|G| < |A| + |B|$, entonces el $G=AB$.

Question

Que $G$ ser un grupo finito. Supongamos que $A$ y $B$ son subconjuntos de $G$. Si $|G|<|A|+|B|$ probar que $$G=AB.$ $

Answer 1

Que $g \in G$. Tenga en cuenta que $|gB^{-1}| = |B|$ % que $|A| + |gB^{-1}| > |G|$; en particular, $A\cap gB^{-1} \neq \emptyset$. Que $a \in A\cap gB^{-1}$, entonces el $a = gb^{-1}$ $b \in B$. Por lo tanto $g = ab \in AB$ % que $G = AB$.

Answer 2

Que $A = \{ a_1, \ldots, a_n \}$ y que $g \in G$ ser arbitraria. Que $x_k = a_k^{-1} g$. Entonces $x_1, \ldots, x_n$ son elementos distintos de $G$, y puesto que el complemento de $B$ $G$ tiene menos de $n$ elementos, existe $k$ tal que $x_k \in B$. A continuación, $g = a_k x_k \in AB$, así $G \subseteq AB$, demostrando la reclamación.

Answer 3

Si usted puede encontrar % válido $A$y $B$ que no sea de $G$ debe haber al menos un elemento falta, dicen que es $g$, multiplicar $A$ $g^{-1}$. Ahora falta $\{e\}$. Es decir, si hay un contraejemplo al teorema existe un contraejemplo en que $e$ no no pertenece a $AB$

Pero si la suma de los cardinalities es mayor que $G$ allí debe ser un elemento $A$ tal que la inversa es en $B$, así que esto es imposible.