Deje $A \in M_n(\mathbb{R})$ satisfacer la ecuación: $$A^2 - 2A + 4I = 0$$ (a) ¿Cuál es $\det A$? (3 puntos)
(b) ¿cuáles son los tamaños posibles de una matriz de $A$? (6 puntos)
Mi solución
Podemos derivar de 2 ecuaciones útiles a partir de una determinada:
1) $A^2 = -2(2I - A)\Rightarrow (\det A)^2 = \det (-2(2I - A)) = (-2)^n \cdot \det (2I - A)$
2) $A(2I - A) = 4E \Rightarrow \det A \cdot \det (2I - A) = 4^n = 2^{2n}$
De la primera podemos ver que el tamaño de la $n$ debe ser par. Esta es la respuesta a la pregunta (b).
Ahora, vamos a construir el sistema de ecuaciones, donde $x = \det A$, $y = \det (2I - A)$. También, podemos substituir $(-2)^n$$2^n$, porque sabemos, que $n$ incluso:
$$\begin{cases} x^2 = 2^n \cdot y, \\ xy = 2^{2n} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = x^2\cdot2^{-n}, \\ x\cdot(x^2\cdot2^{-n}) = 2^{2n} \end{cases} \Rightarrow x = (2^{2n}\cdot2^n)^{1/3} = 2^n$$
Por eso, $\det A = 2^n$ y depende del tamaño de la matriz. Esta es la respuesta a la pregunta (a).
La pregunta
Es esta la solución correcta? Tengo grandes dudas acerca de ella, porque la pregunta (b) vale dos veces más puntos de (a), pero pasó a ser mucho más fácil y también el orden de las tareas sugiere, que debemos resolver (a) en primer lugar.
