¿Schwarzschild métrico, velocidad de bola según lo medido por el observador que toma el balón, justo antes de que se coge la bola?

Question

La métrica de Schwarzschild, describiendo el exterior del campo gravitacional de un planeta de masa $M$ y radio de $R$, está dada por$$ds^2 = -(1 - 2M/r)\,dt^2 + (1 - 2M/r)^{-1}\,dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta \,d\phi^2).$$A tower has its base on the surface of this planet ($r = R$) and its top at radial coordinate $r = R_1$. Una pelota se mantiene en reposo por un observador en la parte superior de la torre. Luego se bajó y cogió por un observador en la parte inferior de la torre.

¿Cuál es la velocidad, $v$, de la pelota, medido por el observador que coge el balón, justo antes de que la pelota es atrapada?

Aquí, no estamos asumiendo que $R \gg 2M$ o que $R_1 - R \ll R$. También, quiero que la física aquí la velocidad, $v$, como se mide, por ejemplo, por una pistola radar, no una coordenada de velocidad, tales como $dr/dt$.

Answer 1

Desde la métrica de Schwarzschild es invariante bajo tiempo de traducciones $t \mapsto t + \Delta t$, obtenemos un campo de muerte $\partial_t$ y por lo tanto sabemos $g(V, \partial_t)$ se conserva a lo largo de una geodésica con el campo de velocidad $V$. Esta cantidad puede ser escrito

$$ -Q = g(V, \partial_t) = V^i g_{it} = -(1-2M/r) V^t,$$

y puede ser pensado como una energía de algún tipo. Podemos usar la ley de la conservación en la parte superior y la parte inferior de la torre para determinar la velocidad. Dado que la bola está en reposo en la Tierra del marco cuando se cae, la velocidad inicial es puramente en el momento en que la dirección; por lo que si elegimos a nuestros geodésica a ser parametrizada tal que $g(V,V) = -1$ a continuación se obtienen $V^t=1$ en el momento inicial, y, por supuesto, $r=R_1$ no; por lo $$ Q = (1-2M/R_1).$$

Por lo tanto, en la parte inferior de la torre debemos tener $$Q = (1-2M/R)V^t = (1-2M/R_1),$$ so an observer in the Earth's frame sees $$\gamma = V^t = \frac{1 - 2M/R_1}{1-2M/R}.$$ Since $\gamma = 1/\sqrt{1-v^2}$, la observación de la velocidad es

$$ v=\sqrt{1- \frac 1 {\gamma^2}} = \sqrt{1-\left(\frac{1-2M/R}{1-2M/R_1}\right)^2}$$

veces la velocidad de la luz.