Partir de una secuencia exacta corta de los complejos de espacios del vector

Question

Es bien conocido que cualquier complejo de espacios vectoriales es isomorfo a una suma directa de dos tipos de indecomposable complejos (un espacio tridimensional se concentran en un solo grado, o de dos dimensiones de los espacios en grados adyacentes, conectados por un isomorfismo).

Tengo una pregunta relacionada: considere una secuencia exacta corta de complejos de espacios vectoriales. Podemos decir cuando se divide, sin exhibir la división?

Una condición necesaria es para todos los inducida mapas de los límites en la homología a ser cero. Es esto suficiente?

edit: en un principio me equivoco y dijo que "la categoría de complejos de espacios vectoriales es semisimple", pero que no era correcto de la terminología (la indecomposable dos-término complejo no es un objeto simple!)

Answer 1

No me gusta responder a mi propia pregunta, pero creo que la respuesta es sí, y aquí es una buena prueba: calcular todos los primeros Ext grupos de la indecomposable complejos. Sólo hay una nonvanishing Ext grupo y se "clasifica" o "registros" en el mapa de límites.

Deje $P[i]$ denotar la indecomposable compleja $k \xrightarrow{\sim} k$ en grados $i,i-1$. Deje $S[i]$ denotar la indecomposable único plazo compleja $k$ grado $i$.

Lema. Cualquier inclusión $P[i] \hookrightarrow C$ en cualquier complejo de $C$ se divide. Asimismo, cualquier surjection $C \twoheadrightarrow P[i]$ se divide.

Prueba: Primera división de la inclusión $k \hookrightarrow C_{i-1}$, a continuación, tire este regreso a través del isomorfismo $k \xrightarrow{\sim } k$ $P[i]$ para obtener los desplazamientos surjections

$$\begin{array}{ccccccccc}0&& k & \xrightarrow{\sim} & k &&0 \\&& \uparrow & &\uparrow \\ \cdots & \xrightarrow{d} & C_i & \xrightarrow{d} & C_{i-1} & \xrightarrow{d} & \cdots \end{array}$$

El $i\to(i-1)$ plaza obviamente desplazamientos y divide la inclusión de $P[i]$; podemos conmutatividad de la $(i+1)\to i$ plaza porque $C_i \to k$ técnicamente consiste en pasar a través de $C_i \to C_{i-1}$ primera. No hay nada que comprobar en el $(i-1) \to (i-2)$ plaza o en las otras plazas. La declaración de surjections es equivalente, sólo dualize todo. $\blacksquare$

El Lema muestra que $$\mathrm{Ext}^1(P[i],-) = \mathrm{Ext}^1(-,P[i]) = 0,$$ así que estos son todos los de split extensiones.

La Ext grupos de $S[i]$ son también bastante fácil y por la comprobación de los posibles casos, la única nonvanishing una es $Ext^1(S[i],S[i-1])$, que corresponde a

$$\begin{array}{ccccccccc} 0 & & k \\ & & \downarrow \\ k & \xrightarrow{f} & k \\ \downarrow \\ k & & 0, \end{array}$$

donde las flechas verticales son isomorphisms. El Ext de la clase está determinada por la multiplicación escalar $f$: es dividir si y sólo si $f=0$, que es también si y sólo si el correspondiente mapa de límite es cero.

Así que ahora tenemos una arbitraria secuencia exacta corta de complejos $$0 \to A_\bullet \to B_\bullet \to C_\bullet \to 0,$$ giving an element of $$B \in \mathrm{Ext}^1(C,A).$$

Por la descomposición de $C$ $A$ en indecomposable sumandos, esto se convierte en una suma de Ext grupos. (De hecho, esto corresponde a la selección de las bases de homología con el fin de escribir los mapas de los límites explícitamente como matrices.) Si todos los mapas de los límites son cero, entonces la clase de $B$ es el cero de la clase y corresponde a la división de extensión.