¿Cómo se puede distribuir seis puntos dentro de un semicírculo con el fin de minimizar la distancia entre cualquier punto y uno de los seis puntos?

Question

Yo soy un biólogo que estudia el comportamiento de vuelo en la isla de Man de Pardela. Para un proyecto que estoy haciendo estoy mirando la influencia del viento sobre el comportamiento de vuelo. Sé que mis aves están dentro de un semi-círculo de radio de 50km de sus nidos, pero no sé su posición exacta. Pero sabiendo que su posición o en algún lugar cercano, es importante ser capaz de estimar los vectores de viento a las que están expuestos.

Soy capaz de adquirir seis ubicaciones de modelado de datos de viento de la Met Office. Para hacer la mayor parte de esto, quiero elegir seis ubicaciones que permitan al menos en una de estas ubicaciones para, al menos, ser representante de cualquier posición posible es un pájaro dentro de este semi-círculo. Así que me imagino que hay una distribución óptima de los 6 lugares dentro de este semi-círculo que minimiza la distancia máxima de un pájaro podría ser de cualquier lugar. Tengo una posible forma de trabajar de esta distribución de abajo y sería muy apreciado si alguien podría comentar sobre la idoneidad de este método o con cualesquiera otros métodos que permitan una solución para el problema. Gracias.

Deje $S$ ser la unidad de semicírculo en el plano.

Queremos encontrar los puntos de $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$ en $S$ a fin de minimizar $\max\{\min\{d(x,x_1), ... ,d(x,x_6)\} : x \in\ S\}$.

Answer 1

Como se indicó en el comentario por Dominik el problema puede ser formulado como la búsqueda de una cobertura de un semicírculo con 6 círculos congruentes con el mínimo radio. Bueno, aquí hay una muy buena, tal vez incluso la configuración óptima (la figura muestra tres círculos que cubren la mitad del semicírculo, los otros tres círculos son simétricas por el eje de simetría de la semicírculo):

Deje $AB$ ser el delimitador diámetro del semicírculo y $C$ su centro. La cobertura de los círculos tienen un radio $$r = \frac{-2+\sqrt{2}+\sqrt{2 \sqrt{2}-2}}{2 (\sqrt{2}-1)} R \approx 0.39158\ R,$$ donde $R=AC=BC$ es el radio del semicírculo. Los centros de los que cubren los círculos de la mentira en radios con ángulos $\frac{\pi}{8},\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{8},\frac{5\pi}{8},\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{8}$ a la delimitación de diámetro. Los centros de los dos "interior" de los círculos (en ángulos $\frac{\pi}{4}$$\frac{3\pi}{4}$) tienen una distancia de $r\approx 0.39158\ R$$C$. Los centros de los cuatro "exterior" de los círculos (en ángulos $\frac{\pi}{8},\frac{3\pi}{8},\frac{5\pi}{8},\frac{7\pi}{8}$) tienen una distancia$\frac{R}{\sqrt[4]{2}} \approx 0.8409\ R$$C$.

La configuración anterior es obviamente un óptimo local; en la actualidad, no puedo demostrar que es un óptimo global, aunque. Siguiente es un bosquejo de la construcción/de cálculo.

Deje $CD$ ser el radio del semicírculo que es perpendicular a la delimitación de diámetro $AB$. Deje $F$ ser el centro de un "interior" círculo; por la construcción tenemos $\angle FCD = \frac{\pi}{4}$. Este círculo se cruza con el radio de $CD$ $G$ una segunda vez. Con $FC=FG=r$ tenemos $CG = r\sqrt{2}$.

Deje $H$ ser el centro de un "exterior" de círculo con $\angle HCD = \frac{\pi}{8}$$HG=HD=r$. Y deje $I$ ser el punto medio de la $GD$. Por lo tanto $$CI = CG+GI = CG + (R-CG)/2 = (R+CG)/2 = (R+r\sqrt{2})/2$$ y $$HI^2 = HG^2-GI^2 = r^2-((R-CG)/2)^2 = r^2-((R-r\sqrt{2})/2)^2.$$ De $HI/CI=\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2}-1$ uno puede calcular $$r = \frac{-2+\sqrt{2}+\sqrt{2 \sqrt{2}-2}}{2 (\sqrt{2}-1)} R.$$