probar $\displaystyle\left\lvert \exp(x) - 1 - x - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!}\right\rvert| < \frac{e}{24}$ $\forall x \in [-1,1]$
mi intento,
Definimos $\exp(x) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}$ con esto:
$| \exp(x) - 1 - x - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!}| = \left | \displaystyle \sum_{n=4}^\infty \dfrac{x^n}{n!} \right | \leq \displaystyle\sum_{n=4}^\infty \left |\dfrac{x^n}{n!} \right | $ desde $|x| \leq 1 $ y $e = 2.718...$ $\displaystyle\sum_{n=4}^\infty \left |\dfrac{x^n}{n!} \right | \leq \displaystyle\sum_{n=4}^\infty \left |\dfrac{e^n}{n!} \right | < e^4/24 < e/24$
¿Esto es una prueba válida? La razón que pido es porque apenas hemos empezado a serie de Taylor en mi clase de análisis y no veo cómo exactamente utilizo esto en absoluto en la prueba
Editar uso de maclaurin:
$\exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + e^\theta x^4/4!$ $\theta \in (0,1)$, $|x| \leq 1$
$$\dfrac{e^\theta}{4!}|x^4| \leq e^\theta/24 < e/24$$
¿es esto correcto?
