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Question

¿Alguien tiene cualquier información sobre esto? X tiene un finito segundo momento y es no negativo. \begin{equation} (\mathbb{E}\vert X^2 - \mathbb{E}[X^2]\vert)^2 \leq 4\mathbb{E}[X^2](\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2) \end{equation} aquí es lo que tengo:

$\mathbb{E}[4X^2]^{1/2}[\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2]^{1/2}\geq \mathbb{E}\vert 2X(X-\mathbb{E}[X])\vert = \mathbb{E}\vert 2X^2 - X\mathbb{E}[X]\vert $

De Cauchy-Schwarz y luego cuadrar ambos lados obtenemos:

$[\mathbb{E}\vert 2X^2 - X\mathbb{E}[X]\vert]^2\leq \mathbb{E}[4X^2][\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X]^2]$

Pero no puedo averiguar lo siguiente o si este es incluso en la dirección correcta.

Answer 1

Usted podría comenzar con:

\begin{eqnarray*} \left(E\vert X^2 - E[X^2]\vert\right)^2 &=& \left(E\left| X - \sqrt{E[X^2]}\right| \left| X + \sqrt{E[X^2]}\right|\right)^2 \\ &\leq& E\left(\left(X-\sqrt{E(X^2)}\right)^2\right) E\left(\left(X+\sqrt{E(X^2)}\right)^2\right) \qquad\text{by Cauchy-Schwarz.} \end{eqnarray *}

Luego ampliar ambos cuadrados y utilizar la linealidad de la expectativa.