Regularidad de Castelnuovo-Mumford de un subanillo de Veronese

Question

He enfrentado un problema mientras leía un papel. Se menciona a ser trivial, pero no podía demostrarlo. Le agradeceria si usted me puede llevar a algunos recursos o si usted puede probar para mí. Gracias.

Sea $ S=K[X_1,X_2,X_3] $ el anillo polinómico con clasificación estándar. $c$ Th es el álgebra de Veronese de $S$ $S^{(c)}=\bigoplus_{i}S_{ic}$. Sé $S^{(c)}$ es un anillo de Cohen-Macaulay. Necesito utilizar la función de Hilbert para demostrar que $\operatorname{reg}S^{(c)}\leq2$. Cualquier otro enfoque también es aceptable.

Answer 1

Esto debería ser fácil una vez que usted sabe algunos hechos de base, tales como:

1. $H^i_{\mathfrak m}(S)^{(c)}\simeq H^i_{\mathfrak m^{(d)}}(S^{(c)})$; Ver aquí, Teorema 3.1.1.

2. $\operatorname{reg}S=0$.

Entonces tenemos $H^i_{\mathfrak m^{(d)}}(S^{(c)})_j\simeq H^i_{\mathfrak m}(S)_{cj}$. La $i$ que cuenta es el $i=3$ (¿por qué?) y de 2. tenemos $H^3_{\mathfrak m}(S)_{cj}=0$ a no ser $cj\le -3$. Desde $cj\le -3$ obtenemos $j\le -1$, que $\operatorname{reg}S^{(c)}\le 2$.