Encontrar el grado de $\mathbb{Q}(i, \sqrt{-2})$ en $\mathbb{Q}$ y más $\mathbb{Q}(i)$

Question

Estoy estudiando para una calificación y me encontré con este problema. Mi razonamiento es que $\sqrt{-2} = i\sqrt{2}$ no vive en $\mathbb{Q}(i)$ y así $[\mathbb{Q}(i,\sqrt{-2}):\mathbb{Q}]=[\mathbb{Q}(i,\sqrt{-2}):\mathbb{Q}(i)][\mathbb{Q}(i):\mathbb{Q}]=2\cdot2=4$ . ¿Tiene esto sentido? Además parece que $\mathbb{Q}(i)=\mathbb{Q}[i]$ para que $[\mathbb{Q}(i,\sqrt{-2}):\mathbb{Q}(i)]=2$ también. Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

Sin duda, lo has hecho todo bien. Esta es otra manera de pensar en ello:

1) ¿Es el polinomio mínimo para $\sqrt{-2}$ sigue siendo irreducible sobre $\mathbb{Q}(i)$ ? Si es así, ¿cuál es su grado?

Eso debería responder a tus dos preguntas, creo.