Si $A+B+C+D+E = 540^\circ$ qué es $\min (\cos A+\cos B+\cos C+\cos D+\cos E)$ ?

Question

Que cada uno de $A, B, C, D, E$ sea un ángulo menor que $180^\circ$ y es mayor que $0^\circ$ . Tenga en cuenta que cada ángulo no puede ser ni $0^\circ$ ni $180^\circ$ .

Si $A+B+C+D+E = 540^\circ,$ ¿cuál es el mínimo de la siguiente función? $$\cos A+\cos B+\cos C+\cos D+\cos E$$

Sospecho que el mínimo se alcanza cuando $A=B=C=D=E$ pero no puedo probarlo. Necesito su ayuda.

Answer 1

${\bf 1\ }$ Por el momento una configuración $a=(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,,\alpha_5)$ de ángulos $\alpha_i$ es admisible cuando $$0\leq\alpha_1\leq\alpha_2\leq\alpha_3\leq\alpha_4\leq\alpha_5\leq\pi,\qquad \sum_{i=1}^5\alpha_i=3\pi\ .$$ Dejemos que $Q$ sea el conjunto compacto de configuraciones admisibles $a$ y poner $$\Phi(a):=\sum_{i=1}^5\cos\alpha_i\quad(a\in Q)\ ,\qquad \mu:=\min_{a\in Q}\Phi(a)\ .$$ Cuando $\Phi(a)=\mu$ entonces $a$ se llama óptimo configuración.

${\bf 2\ }$ Dejemos que $a\in Q$ sea una configuración óptima. Entonces $$0\leq\alpha_1\leq\ldots\leq\alpha_r<{\pi\over2}\leq \alpha_{r+1}\leq\ldots\leq\alpha_5\leq\pi$$ para algunos $r\geq0$ . Dado que la función $\cos$ es adecuadamente convexo en el intervalo $\bigl[{\pi\over2},\pi\bigr]$ se deduce de la desigualdad de Jensen que $$\alpha_{r+1}=\ldots=\alpha_5=\alpha\tag{1}$$ para un determinado $\alpha\in\bigl[{\pi\over2},\pi\bigr]$ . Entonces tenemos $$3\pi=\alpha_1+\ldots+\alpha_r+(5-r)\alpha<r{\pi\over2}+(5-r)\alpha=(5-r)\left(\alpha-{\pi\over2}\right)+5{\pi\over2}\ ,$$ o $$(5-r)\left(\alpha-{\pi\over2}\right)>{\pi\over2}\ .$$ De ello se desprende que $r\leq3$ (de donde $r+2\leq5$ ) y que $\alpha>{\pi\over2}$ .

${\bf 3\ }$ Dejemos que $a\in Q$ sigue siendo óptima y se supone que $0<\alpha_i\leq\alpha_j<\pi$ para dos entradas $\alpha_i$ , $\alpha_j$ . Entonces uno tendría $${d\over d\epsilon}\bigl(\cos(\alpha_i+\epsilon)+\cos(\alpha_j-\epsilon)\bigr)\biggr|_{\epsilon=0}=0\ ,$$ o $\sin\alpha_i=\sin\alpha_j\>$ . Esto implica que todos los $\alpha_i\notin\{0,\pi\}$ tienen el mismo seno.

${\bf 4\ }$ Primero consideramos el caso ${\pi\over2}<\alpha<\pi$ . Afirmo que $\sin\alpha_r=\sin\alpha$ es imposible. Prueba: Entonces tendríamos $\cos\alpha_r=-\cos\alpha$ y podría sustituir a $\alpha_r$ , $\alpha_{r+1}$ por $$\alpha_r'=\alpha_{r+1}':={\pi\over2}\quad <\alpha=\alpha_{r+2}$$ y aún así tener $\Phi(a')=\mu$ . Esto contradice la propiedad $(1)$ de configuraciones óptimas.

De ello se desprende que $\alpha_1=\ldots=\alpha_r=0$ . Esto nos deja con las siguientes configuraciones: $$\eqalign{&r=0:\quad a=({3\pi\over5},{3\pi\over5},{3\pi\over5},{3\pi\over5},{3\pi\over5}), \quad \Phi(a)=5\cos{3\pi\over5}\doteq-1.54508,\cr &r=1:\quad a=(0,{3\pi\over4},{3\pi\over4},{3\pi\over4},{3\pi\over4}), \quad \Phi(a)=1+4\cos{3\pi\over4}\doteq-1.82843.\cr}$$ Se puede comprobar fácilmente que $r=2$ y $r=3$ son imposibles en este caso.

${\bf 5\ }$ Cuando $\alpha=\pi$ entonces necesariamente $r=2$ o $r=3$ . El caso $r=2$ hace valer la configuración $$a=(0,0,\pi,\pi,\pi),\quad \Phi(a)=-1\ ,$$ y el caso $r=3$ junto con $\alpha_r<{\pi\over2}$ hace valer la configuración $$a=({\pi\over3},{\pi\over3},{\pi\over3},\pi,\pi),\quad \Phi(a)=-{1\over2}\ .$$ ${\bf 6\ }$ Comparando los datos obtenidos concluimos que $$\mu=\Phi\bigl(0,{3\pi\over4},{3\pi\over4},{3\pi\over4},{3\pi\over4}\bigr)=1-2\sqrt{2}\doteq-1.82843\ .$$ En la formulación del problema por parte de los ángulos OP $\alpha_i\in\{0,\pi\}$ están prohibidos. De nuestro análisis se deduce que la función $\Phi$ se supone que no hay un mínimo en $Q_{\rm OP}$ . Todo lo que podemos decir es que $$\inf\nolimits_{a\in Q_{\rm OP}}\Phi(a)=1-2\sqrt{2}\ .$$

Answer 2

Lo que estás viendo es un problema de optimización con restricciones.

Dicho de otro modo, se le pide que minimice $\cos A+\cos B+\cos C+\cos D+\cos E$ dada la restricción $A+B+C+D+E=540$ .

Utilizando multiplicadores de lagrange podemos reescribirlo como la minimización de la función $L(A,B,C,D,E,\lambda)=\cos A+\cos B+\cos C+\cos D+\cos E+\lambda(540-A-B-C-D-E)$

Para minimizar la función, se quiere establecer cada derivada parcial de L ( $\frac{\partial L}{\partial A},\frac{\partial L}{\partial B},...,\frac{\partial L}{\partial \lambda})$ a cero. Con esto debería obtener el valor de $\lambda$ así como los valores de cada ángulo.

Con eso creo que puedes dar el último paso.

Answer 3

Solución parcial fea

Obsérvese primero que por la desigualdad de Jensen, si $x_1,..,x_k$ son ángulos en $[90^o, 180^o]$ entonces

$$\cos(\frac{x_1+...+x_k}{k}) \leq \frac{\cos(x_1)+..+\cos(x_k)}{k}$$

Esto demuestra que el mínimo absoluto (que existe como demostró Sami) se alcanza en un punto donde todos los ángulos obtusos son iguales.

Ahora dividimos el problema en pocos casos:

Caso 1: Todo $5$ los ángulos son $\geq 90^o$ . Entonces por Jensen

$$\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)+\cos(D)+\cos(E) \geq 5 \cos(108^o) \sim -1.545 \,.$$

Caso 2: Exactamente $4$ los ángulos son $\geq 90^o$ . Sin pérdida de generalidad $A =x <90^o$ . Entonces por Jensen

$$\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)+\cos(D)+\cos(E) \geq \cos(A)+ 4 \cos(\frac{B+C+D+E}{4}) $$ $$= \cos(x)+4 \cos(\frac{540^o-x}{4})\,.$$

Ahora, el único número crítico de $f(x)=\cos(x)+4 \cos(\frac{540^o-x}{4})$ en $[0^o,90^o]$ es $60^o$ .

Así que el mínimo absoluto de $\cos(x)+4 \cos(\frac{540^o-x}{4})$ es uno de $\cos(60^o)+4 \cos(120^o) \,;\, \cos(90^o)+4 \cos(112.5^o) \,;\, \cos(0^o)+4 \cos(135^o)$ .

Entonces

$$\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)+\cos(D)+\cos(E) \geq 1+4 \cos(135^o) \sim -1.828$$

Es fácil demostrar (utilizando la Jensen para los ángulos agudos) que $3$ o ángulos más agudos conducen a un mínimo mayor, por lo que el único caso que queda por estudiar es :

Caso 3: Exactamente $3$ los ángulos son $\geq 90^o$ . Sin pérdida de generalidad $A =x <90^o$ y $B =y <90^0. Entonces por Jensen

$$\cos(A)+\cos(B)+\cos(C)+\cos(D)+\cos(E) \geq \cos(A)+ \cos(B)+ 3 \cos(\frac{C+D+E}{4}) $$ $$= \cos(x)+\cos(y)+3 \cos(\frac{540^o-x-y}{3})\,.$$

El mínimo de esta función en $[0^o,90^o] \times [0^o,90^o]$ se puede calcular con el cálculo multivariable. Vaya.

Answer 4

Podemos argumentar utilizando la noción de compacidad y continuidad del $\cos$ función de que el mínimo existe y se alcanza.

Supongamos que el mínimo viene dado por los ángulos $A,B,C,D$ y $E$ . Ahora WLG supone que $A>B$ y tomar de $B$ un pequeño (ángulo) arbitrario $\epsilon$ y añadirlo a $A$ tenemos $$\cos(A+\epsilon)+\cos(B-\epsilon)=\cos(A)\cos(\epsilon)+\cos(B)\cos(\epsilon)+\sin(B)\sin(\epsilon)-\sin(A)\sin(\epsilon)$$ y utilizando la aproximación $\cos(\epsilon)\approx 1$ y $\sin(\epsilon)\approx \epsilon$ tenemos $$\cos(A+\epsilon)+\cos(B-\epsilon)\approx \cos(A)+\cos(B)+\underbrace{\epsilon(\sin(B)-\sin(A))}_{<0}$$ por lo que nos encontramos con una contradicción ya que el mínimo se alcanza en $A,B,C,D$ y $E$ .

Observaciones

• El caso $A>B$ y $\sin(A)\leq \sin(B)$ no es un problema en el razonamiento porque en este caso tomamos $\epsilon$ de $A$ y añadirlo a $B$ .
• Este razonamiento es claramente válido si $ B \neq 0$ o $ A \neq180 $ y estos pocos casos deben ser tratados por separado.

Answer 5

Lo que los argumentos basados en la diferenciación en otras respuestas están demostrando realmente es que

Los extremos (en el dominio permitido más su frontera) sólo pueden ocurrir en los puntos donde un conjunto de $k$ de la sines de los ángulos son iguales, y el otro conjunto de $(5 - k)$ Los senos son cero (desde los puntos de la frontera), para algún valor de $k$ entre $0$ y $5$ .

Cinco senos iguales ( $k = 5$ ) ocurren en las permutaciones de

$f(108,108,108,108,108)= 5 \cos 108 = -1.545... 0$ (del comentario de Ron Gordon)

$f(120,120,120,120,60)= 4 \cos 120 + \cos 60 = 3 \cos 120 = -3/2 $

$f(180,180,180,0,0)=-1$

Cuatro senos iguales ( $k=4$ )

$f(135,135,135,135,0) = -2\sqrt{2}+1 = -1.8...$ (del comentario de N.S.)

$f(90,90,90,90,180) = -1$

$f(x,x,180-x,180-x,180) = -1$

Me he detenido aquí, pero no parece que $k \leq 3$ puede hacerlo mejor que $-\frac{3}{2}$ . Si eso es cierto, entonces el resultado es

cualquier valor ligeramente superior a $a = -2\sqrt{2}+1$ se produce en $(4u,135-u,135-u,135-u,135-u)$ para un pequeño positivo $u$ y ningún valor $\leq a$ se consigue.