Que $(a_n)_{n=1}^\infty$ ser una secuencia tal que $0\leq a_n \leq 1$, $\sum_{n=1}^\infty a_n=1$ y que $card \{a_n: n \in \mathbb{N} \}=\infty$. Consideremos el conjunto de $$S=\{ \sum_{n\in I} a_n: I \subset \mathbb{N} \}.$ $ puede sucede que $S=[0,1]$ por ejemplo para % o $(\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3}...)$ $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3^2}, \frac{1}{3^2},...)$. ¿Bajo qué condición $S$ contienen un intervalo? ¿Es $S=[0,1]$?
Respuesta
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Creo que no va a ser fácil claro condición para $(a_n)$. En cualquier caso, $S$ puede ser mucho menor que $[0,1]$ - considera su binario ejemplo, pero con un número arbitrario de los poderes reemplazado por su suma. A continuación, la serie todavía añade a $1$, pero algunos intervalos de $[0,1]$ no están en $S$, sin embargo, (suponiendo que sólo un número finito de poderes combinados) todavía hay completa intervalos en $S$.
Por otro lado, si consideras $(\frac{8}{9},\frac{1}{10}, \frac{1}{10^2}, ...)$, entonces es fácil ver que $S$ contiene ningún intervalo.
