Que $K$ ser un subcampo de $\mathbb{C}$ no se encuentran en $\mathbb{R}$. Mostrar que $K$ es denso en $\mathbb{C}$.

Question

Que $K$ ser un subcampo de $\mathbb{C}$ no se encuentran en $\mathbb{R}$. Mostrar que $K$ es denso en $\mathbb{C}$.

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completamente atascados en él. puedo obtener alguna ayuda por favor.

Answer 1

$K$ debe contener $1$, lo $\mathbb{N}$ mediante la adición, y cada una de las $\frac{1}{n}$ $n$ $\mathbb{N}$ tomando la inversa.

Por lo $\mathbb{Q}$ está contenido en $K$.

$K$ contiene un complejo(no real) número de $x$, de manera que contenga $\mathbb{Q}+x\mathbb{Q}$, que es denso en $\mathbb{C}$.

La prueba de densidad: vamos a $z\in\mathbb{C}$. ($1$,$x$) es una base de $\mathbb{C}$ visto como un verdadero espacio vectorial, por lo $z=a+bx$ $a$ $b$ números reales. $\mathbb{Q}$ denso en $\mathbb{R}$, usted tiene $a_n$ $b_n$ $\mathbb{Q}$ que convergen hacia la $a$ $b$ respectivamente. Por lo $a_n+b_n x$ vive en $\mathbb{Q}+x\mathbb{Q}$ y converge hacia la $z$.

Answer 2

Sugerencia: demostrar que el cierre (topológico)! $K$ es un subcampo $L$ $\mathbb{C}$. Como $K$ $\mathbb{Q}$, $L$ contiene $\mathbb{R}$, la clausura topológica de $\mathbb{Q}$. Ya que % supone que contienen un elemento de $[\mathbb{C}:\mathbb{R}] = 2$ $L$y $\mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$, debemos tener $L = \mathbb{C}$.

Answer 3

Hay algunos $K$ $\mathbb{R}$ no se encuentra en $z \in K - \mathbb{R}$. Así $1$ y $z$ forma una base de $\mathbb{C}$ como un espacio de $\mathbb{R}$-vector. Ahora, muestran que si toman cualquier base de $\mathbb{C}$ como un espacio de $\mathbb{R}$-vector y considerar el subespacio de $\mathbb{C}$ como un espacio de $\mathbb{Q}$-vector, entonces este subespacio denso en $\mathbb{C}$.

Answer 4

Sugerencia: Recordemos que $\Bbb Q$ es densa en $\Bbb R$. Si $K$ no es un subcampo de $\Bbb R$ entonces contiene un elemento $x\notin\Bbb R$ tal que $x^2\in\Bbb R$. Mostrar que $K$ contiene algo que se parece un poco $\Bbb Q[i]$.