Enfoques de dualidad T

Question

El enfoque del libro de texto para explicar las dualidades T es mostrar que un tipo de transformación de dualidad T "invierte el radio del círculo, es decir, mapea $R\rightarrow\tilde{R} = \alpha'/R$ y deja invariante la fórmula de la masa de la cuerda siempre que se intercambie el número de enrollamiento de la cuerda con el número de excitación de Kaluza-Klein". 1

Sin embargo, la clasificación más amplia de la T-dualidad parece implicar que las teorías son T-daul si hay algún tipo de transformación que cambie una teoría por la otra. Así que la pregunta es si hay otros enfoques para mostrar la T-dualidad, o si hay un enfoque "canónico" para la T-dualidad.

Teoría de cuerdas y teoría M: Una introducción moderna [Hardcover] Katrin Becker (Autor), Melanie Becker (Autor), John H. Schwarz (Autor)

Answer 1

"Cualquier transformación que cambie una teoría en otra" (o la misma) no se llama T-dualidad. Es simplemente una "dualidad". Una condición es que las dos teorías parezcan diferentes - de lo contrario la equivalencia sería vacía - pero debe ser cierto que su espectro y la fuerza de las interacciones entre sus estados deben ser totalmente isomórficos: la física tiene que ser indistinguible. Por lo tanto, una dualidad no es más que una redefinición muy elegante de las coordenadas que no se puede hacer del todo en el límite clásico, por lo que no se puede escribir ninguna redefinición "explícita". Pero el impacto es el mismo: las dos teorías se comportan de la misma manera. Para cada estado/objeto de un lado, se encuentra un homólogo en el otro lado, cuya interpretación geométrica puede ser muy diferente pero cuyo comportamiento es isomorfo.

La dualidad T en la teoría de cuerdas

La dualidad T es una dualidad que cambia las propiedades geométricas del espaciotiempo objetivo, pero que se mantiene orden por orden en la expansión en términos del acoplamiento de cuerdas en la teoría de cuerdas perturbativa. En particular, una dualidad T debe preservar la noción de "cuerda fundamental" (o "hoja del mundo") y su tensión y es una dualidad débil-débil cuando se trata de las interacciones entre cuerdas. La hoja del mundo de una forma determinada sigue siendo la hoja del mundo de la misma forma; sin embargo, los campos que hay en ella se transforman. Eso es la dualidad T en general.

En general, las dualidades T que conocemos pueden interpretarse como la dualidad que mencionas, aunque también puede invertir los radios de varios círculos (un toroide) en el mismo momento, y la forma de estos círculos (y toros) puede depender de otras coordenadas del espaciotiempo (el llamado "procedimiento de Buscher" es un método estandarizado para realizar dicha transformación). En particular, la "simetría de espejo" que relaciona dos formas de Calabi-Yau completamente diferentes puede entenderse como una dualidad T que actúa sobre unas fibras toroidales tridimensionales del espacio de Calabi-Yau (una forma especial de elegir las coordenadas de la forma 6D de modo que 3 de ellas parezcan un toro cuya forma depende de las 3 restantes). Sin embargo, en los últimos años, la gente también ha apreciado la importancia de las dualidades T fermiónicas que actúan principalmente sobre campos fermiónicos en la hoja del mundo, pero que por lo demás son análogas.

Otras dualidades

Hay otros tipos importantes de dualidades. Las dualidades S invierten el acoplamiento débil y fuerte. En particular, para un valor muy grande de $g$ mucho mayor que uno, encuentran otra teoría con un acoplamiento débil $g'=1/g$ o $1/g^2$ - que es mucho más pequeño que uno - que es equivalente al anterior. Así que las dualidades S suelen invertir los acoplamientos pequeños y los grandes, de la misma manera que las dualidades T intercambian los radios pequeños y los grandes de los círculos. Una cuerda fundamental no sigue siendo una cuerda fundamental bajo una dualidad S; normalmente se transforma en otra cuerda, por ejemplo una cuerda D (también conocida como D1-brana), que solía ser pesada y sin importancia cuando el acoplamiento era débil pero se convierte en el objeto más ligero e importante cuando el acoplamiento es fuerte. De nuevo, una dualidad S intercambia cuerdas fundamentales y cuerdas D, y pares de objetos similares.

De forma más general, también existen dualidades U que combinan las acciones de las dualidades S y T: intercambian un acoplamiento fuerte con radios grandes con un acoplamiento débil y radios pequeños, entre acciones similares. En particular, la teoría M (esencialmente la supergravedad de 11 dimensiones con las cosas extra "fibrosas" necesarias para hacerla consistente en todas las energías) compactada en un $k$ -tiene un grupo de autodualidad que es algo así como $E_{k(k)}(Z)$ un subgrupo discreto de una edición no compacta de los grupos de Lie excepcionales (para $k\leq 8$ : para $k\leq 5$ El grupo excepcional se puede escribir en términos de grupos no excepcionales). Tal grupo excepcional de U-dualidad intercambia momentos en dimensiones compactas con cargas de membrana y de cinco membranas envueltas (y otras cargas discretas como las de KK-monopolo si hay al menos 6 dimensiones compactas).

Otras equivalencias entre dos teorías aparentemente diferentes también se denominan "dualidades", y la propia correspondencia holográfica AdS/CFT también se clasifica a veces como una dualidad. Triplicaría este artículo si quisiera cubrir todos los tipos importantes de dualidades que aparecen en la teoría de campos y la teoría de cuerdas.

Por qué sorprende la existencia de dualidades

Por último, es útil subrayar que las dualidades -una noción clave de la física teórica de los últimos 20 años aproximadamente- no tenían por qué existir. Más concretamente, la gente pensaba que una teoría compactada en un círculo extremadamente pequeño, o una teoría extrapolada a un acoplamiento insanamente fuerte, es una bestia misteriosa completamente nueva llena de dragones de mar que se comporta como nada que la gente haya encontrado anteriormente. Sin embargo, resulta que el comportamiento de esos "límites misteriosos" se rige casi siempre por otra teoría "mundana" que el pueblo ha conocido esencialmente, y que las dos son equivalentes. Es como ir a la India y a América y esperar criaturas totalmente nuevas allí, pero encontrar los mismos animales y plantas a los que estamos acostumbrados.

Cada vez que algún radio se hace extremadamente pequeño, el acoplamiento se hace muy fuerte, o incluso el número de colores de una teoría gauge se envía al infinito, de modo que las técnicas perturbativas de la teoría original se rompen totalmente, siempre parece haber una nueva descripción que está totalmente débilmente acoplada. Esa es una de las lecciones de la física desde mediados de los años 90, algo que antes no sabíamos pero que hoy en día sí sabemos. El hecho de que parezcamos comprender los límites del "extremo opuesto" de las teorías previamente conocidas pone un límite superior a la cantidad de "nuevos enigmas" que aún pueden esconderse en la teoría de campos y en la teoría de cuerdas/M. Si hay enigmas totalmente nuevos, tienen que esconderse en los valores intermedios -como la Atlántida en medio del Océano Atlántico, si se quiere-. ;-)

Answer 2

La dualidad T implica un intercambio $x_9~\rightarrow~x_9~+~2\pi R$ con la compactación de una dimensión. Una partícula que recorre este círculo tiene un momento $\sim~1/R$ y esto conecta en parte con la idea de un entramado recíproco. La masa de la partícula que recorre el círculo es $M~=~n/R$ . Una cuerda cerrada también puede envolver un círculo. El enrollamiento de una cuerda $w$ aporta energía $E~=~2\pi wRT$ , $T~=~1/(2\pi\alpha’)$ la cadena. La masa se relaciona con el número de bobinado mediante $$ M^2~=~\Big(\frac{n}{R}\Big)^2~+~\Big(\frac{wR}{\alpha’}\Big)^2~+~\frac{1}{\alpha’}(2N~+~w~-~2) $$ Esto también tiene la estructura recíproca. La conexión entre el entramado y la compactación y las envolturas de cuerdas/gránulos tendrá que ser más ajustada con una conexión a los espacios compactados. La dualidad T relaciona la teoría de supercuerdas de tipo IIA con la teoría de supercuerdas de tipo IIB, y relaciona la heterótica $SO(32)$ teoría de supercuerdas a la heterótica $E_8\times E_8$ teoría de supercuerdas. Hay un intercambio entre los números de modo y los números de devanado con $R~\rightarrow~\alpha’/R$ .

La dualidad S es una relación entre dos teorías de campo similares con fuerzas de acoplamiento recíprocas. Se basa en la relación Montenen-Olive, que es una forma de la regla de cuantificación de Bohr-Sommerfeld. Dadas las cargas $q,~g$ para un campo gauge similar entonces $$ qg~=~n\hbar. $$ Un límite de baja energía de un SUGRA de tipo IIB con un campo complejo $\phi$ descompuesto en un campo de axiones y dilitones como las partes real e imaginaria $\phi~=~\psi~+~iexp(X)$ tiene un $SL(2,{\mathbb R})$ estructura, donde el subconjunto discreto $SL(2,{\mathbb Z})$ tiene una estructura modular (o M{"o}bius), donde el campo tiene una transformación lineal fraccionaria $$ \phi~\rightarrow~\frac{a\phi~+~b}{c\phi~+~d},~ad~-~bc~=~1 $$ donde para $b~=~c~=~1$ y $a~=~d~=~0$ tenemos otra relación recíproca.

Las dualidades T y S pueden componerse de varias maneras para definir esta dualidad U, menos conocida.