Pregunta sobre tipo IIB ecuaciones de supergravedad de movimiento

Question

Esta es probablemente una pregunta tonta, pero soy un matemático que ha estado tratando de comprender las ecuaciones de movimiento para el Tipo IIB supergravedad, y no estoy muy seguro de entender lo que está pasando con las ecuaciones de Einstein. Específicamente, estoy siguiendo el apéndice a de este documento, y la ecuación estoy teniendo problemas con A. 4. Aquí es para mayor claridad:

$$R_{\mu \nu} + 2 D_{\mu}D_{\nu}\Phi - \frac{1}{4}H_{\mu \nu}^2 = e^{2\Phi}\left[ \frac{1}{2}(F_1^2)_{\mu \nu} + \frac{1}{4}(F_3^2)_{\mu \nu} + \frac{1}{96}(F_5^2)_{\mu \nu} - \frac{1}{4}g_{\mu \nu}\left( F_1^2 + \frac{1}{6}F_3^2 \right )\right]$$

Mi entendimiento es que el $F_1$ es un diferencial 1-forma, que nos iba a escribir en componentes como decir $F_1 = f_i dx^i$, $F_1^2$ se define a continuación: $$F_1^2 = f_i f_j g^{ij} $$ Mi problema es, por tanto, que espero que a $F_1^2$ a ser un escalar. De hecho, yo espero que todos los términos en el lado derecho de la ecuación a ser escalares, y así que no sé lo $(F_1^2)_{\mu \nu}$ medios.

Pequeño apéndice: estoy bastante seguro de que $D_{\mu }$ es la derivada covariante con respecto a la métrica de conexión, algo que normalmente llamaría $\nabla_{\mu}$, pero yo sólo quería confirmar esto.

Answer 1

Para un objetivo espacio $p$-forma en coordenadas locales

$$F_p~=~\frac{1}{p!}F_{\mu_1\mu_2\ldots\mu_p}~\mathrm{d}x^{\mu_1}\wedge \mathrm{d}x^{\mu_2}\wedge\ldots\wedge \mathrm{d}x^{\mu_p},\tag{1}$$

el documento define un escalar

$$F_p^2~:=~F_{\mu_1\mu_2\ldots\mu_p}~g^{\mu_1\nu_1}~g^{\mu_2\nu_2}\ldots g^{\mu_p\nu_p}~F_{\nu_1\nu_2\ldots\nu_p},\tag{2}$$

y un tensor simétrico covariante

$$(F_p^2)_{\mu_1\nu_1}~:=~F_{\mu_1\mu_2\ldots\mu_p}~g^{\mu_2\nu_2}\ldots g^{\mu_p\nu_p}~F_{\nu_1\nu_2\ldots\nu_p}.\tag{3}$$

Answer 2

%#% de #% son curvaturas de mayor calibre campos %#% de #%, así que son n-formas. La expresión $F_{n-1}$ significa esquemáticamente $A_{n-1}$, donde los índices están aumentados el % métrico inverso $(F_{n}^2)_{\mu \nu}$.