Teorema 1. Deje $x$ $y$ ser de dos números enteros. Entonces, existen enteros $p$
y $q$ tal que $px+qy=\gcd\left( x,y\right) $.
Teorema 1 es el teorema de Bezout, y que se asumen para ser conocido. Observe que el
enteros $x$ $y$ se les permite ser $0$ (incluso ambos, en cuyo caso
utilizamos la convención de $\gcd\left( 0,0\right) =0$).
Proposición 2. Deje $n$ $m$ ser de dos números enteros no negativos tales que
$n\mid m$ $m\mid n$ . A continuación, $m=n$.
Proposición 2 es obvio. Las igualdades entre los mcd son generalmente demostrado con el
ayuda de la Proposición 2.
Lema 3. Vamos $x$, $y$, $z$ y $w$ ser de cuatro números enteros tales que $\gcd\left(
x,z\right) =1$ and $\gcd\left( y,w\right) =1$. Then, $\gcd\left(
xy,zw\right) =\gcd\left( y,z\right) \cdot\gcd\left( x,w\right) $.
La prueba del Lema 3. Teorema 1 (aplicado a $w$ en lugar de $y$) muestra que hay
existen enteros $p$ $q$ tal que $px+qw=\gcd\left( x,w\right) $. Deje que nosotros
indicar estos $p$$q$$p_{1}$$q_{1}$. Por lo tanto, $p_{1}$ $q_{1}$
enteros satisfacer $p_{1}x+q_{1}w=\gcd\left( x,w\right) $.
Teorema 1 (aplicado a $y$ $z$ en lugar de $x$$y$) muestra que hay
existen enteros $p$ $q$ tal que $py+qz=\gcd\left( y,z\right) $. Deje que nosotros
indicar estos $p$$q$$p_{2}$$q_{2}$. Por lo tanto, $p_{2}$ $q_{2}$
enteros satisfacer $p_{2}y+q_{2}z=\gcd\left( y,z\right) $.
Teorema 1 (aplicado a $z$ en lugar de $y$) muestra que existen enteros $p$
y $q$ tal que $px+qz=\gcd\left( x,z\right) $. Deje que nos indican estos $p$
y $q$$g$$h$. Por lo tanto, $g$ $h$ son enteros de satisfacciones
$gx+hz=\gcd\left( x,z\right) $. Por lo tanto, $gx+hz=\gcd\left( x,z\right) =1$.
Teorema 1 (aplicado a $y$ $w$ en lugar de $x$$y$) muestra que hay
existen enteros $p$ $q$ tal que $py+qw=\gcd\left( y,w\right) $. Deje que nosotros
indicar estos $p$$q$$g^{\prime}$$h^{\prime}$. Por lo tanto, $g^{\prime}$
y $h^{\prime}$ son enteros satisfacer $g^{\prime}y+h^{\prime}w=\gcd\left(
x,z\right) $. Hence, $g^{\prime}y+h^{\prime}w=\gcd\left( x,z\right) =1$.
Ahora,
$\underbrace{\gcd\left( y,z\right) }_{=p_{2}y+q_{2}z}\cdot\underbrace{\gcd
\left( x,w\ \ derecho) }_{=p_{1}x+q_{1}w}$
$=\left( p_{2}y+q_{2}z\right) \cdot\left( p_{1}x+q_{1}w\right) $
$=p_{1}p_{2}xy+q_{1}p_{2}\underbrace{yw}_{=yw1}+q_{2}p_{1}\underbrace{xz}
_{=xz1}+q_{1}q_{2}zw$
$=p_{1}p_{2}xy+q_{1}p_{2}yw\underbrace{1}_{=gx+hz}+q_{2}p_{1}xz\underbrace{1}
_{=g^{\prime}y+h^{\prime}w}+q_{1}q_{2}zw$
$=p_{1}p_{2}xy+q_{1}p_{2}yw\left( gx+hz\right) +q_{2}p_{1}xz\left(
g^{\prime}y+h^{\prime}w\ \ derecho) +q_{1}q_{2}zw$
$=p_{1}p_{2}xy+q_{1}p_{2}ywgx+q_{1}p_{2}ywhz+q_{2}p_{1}xzg^{\prime}
y+q_{2}p_{1}xzh^{\prime}w+q_{1}q_{2}zw$
$=\left( p_{1}p_{2}+q_{1}p_{2}wg+q_{2}p_{1}zg^{\prime}\right) xy+\left(
q_{1}p_{2}yh+q_{2}p_{1}xh^{\prime}+q_{1}q_{2}\right) zw$ (por un
sencillo cálculo)
es una $\mathbb{Z}$-combinación lineal de $xy$$zw$, y por lo tanto divisible
por $\gcd\left( xy,zw\right) $ (ya que tanto $xy$ $zw$ son divisibles por
$\gcd\left( xy,zw\right) $). En otras palabras,
(1) $\gcd\left( xy,zw\right) \mid\gcd\left( y,z\right) \cdot
\gcd\left( x,w\right) $.
Por otro lado, la multiplicación de las relaciones
$\gcd\left( y,z\right) \mid y$ y $\gcd\left(
x,w\ \ derecho) \mediados del x$, we obtain $\gcd\left( y,z\right) \cdot\gcd\left(
x,w\ \ derecho) \mediados de yx=xy$. Además, la multiplicación de las relaciones
$\gcd\left( y,z\right) \mid z$ y
$\gcd\left( x,w\right) \mid w$, obtenemos $\gcd\left( y,z\right) \cdot
\gcd\left( x,w\ \ derecho) \mediados de zw$. We thus know that both $xy$ and $zw$ son
divisible por $\gcd\left( y,z\right) \cdot\gcd\left( x,w\right) $.
Por lo tanto, el máximo común divisor de a $xy$ $zw$ también es divisible por
$\gcd\left( y,z\right) \cdot\gcd\left( x,w\right) $. En otras palabras, tenemos
(2) $\gcd\left( y,z\right) \cdot\gcd\left( x,w\ \ derecho) \mid\gcd\left(
xy,zw\right) $.
Ahora, hemos demostrado (1) y (2). Por lo tanto, podemos aplicar la Proposición 2 a
$n=\gcd\left( y,z\right) \cdot\gcd\left( x,w\right) $ e $m=\gcd\left(
xy,zw\right) $. We thus obtain $\gcd\left( xy,zw\right) =\gcd\left(
y,z\right) \cdot\gcd\left( x,w\right) $. Esto demuestra Lema 3.
Teorema 4. Vamos $a$, $b$, $c$ y $d$ ser de cuatro enteros. Vamos a $n=\gcd\left(
a,c\right) $ and $m=\gcd\left( b,d\ \ derecho) $; assume that $n\neq0$ y
$m\neq0$. A continuación,
$\gcd\left( ab,cd\right) =\gcd\left( a,c\right) \cdot\gcd\left(
b,d\ \ derecho) \cdot\gcd\left( \dfrac{a}{n},\dfrac{d}{m}\right) \cdot
\gcd\left( \dfrac{c}{n},\dfrac{b}{m}\right) $.
La prueba del Teorema 4. Vamos $x=\dfrac{n}{a}$, $y=\dfrac{m}{b}$, $z=\dfrac{n}{c}$
y $w=\dfrac{n}{d}$. Entonces, $a=nx$, $b=my$, $c=nz$ y $d=nw$. También,
$x=\dfrac{n}{a}$ es un número entero (desde $n=\gcd\left( a,c\right) \mid a$), y
del mismo modo $y$, $z$ y $w$ son enteros.
Ahora, $n=\gcd\left( \underbrace{a}_{=nx},\underbrace{c}_{=nz}\right)
=\gcd\left( nx,nz\right) =n\gcd\left( x,z\right) $. Since $n\neq0$, podemos
dividir esta igualdad por $n$, y obtener un $1=\gcd\left( x,z\right) $. El mismo
argumento (el uso de $m,b,d,y,w$ en lugar de $n,a,c,x,z$) muestra que $1=\gcd\left(
y,w\right) $. Por lo tanto, Lema 3 rendimientos
$\gcd\left( xy,zw\right) =\underbrace{\gcd\left( y,z\right) }
_{=\gcd\left( z,y\right) }\cdot\gcd\left( x,w\right) =\gcd\left(
z,y\right) \cdot\gcd\left( x,w\right) $
$=\gcd\left( x,w\right) \cdot\gcd\left( z,y\right) $.
Pero
$\gcd\left( \underbrace{a}_{=nx}\underbrace{b}_{=mi},\underbrace{c}
_{=nz}\underbrace{d}_{=mw}\right) =\gcd\left( nxmy,nzmw\right) =\gcd\left(
nm\cdot xy,nm\cdot zw\right) $
$=nm\cdot\underbrace{\gcd\left( xy,zw\right) }_{=\gcd\left( w,x\right)
\cdot\gcd\left( z,y\right) }=\underbrace{n}_{=\gcd\left( a,c\right)
}\underbrace{m}_{=\gcd\left( b,d\ \ derecho) }\cdot\gcd\left( \underbrace{x}
_{=\dfrac{a}{n}},\underbrace{w}_{=\dfrac{d}{m}}\right) \cdot\gcd\left(
\underbrace{z}_{=\dfrac{c}{n}},\underbrace{y}_{=\dfrac{b}{m}}\right) $
$=\gcd\left( a,c\right) \cdot\gcd\left( b,d\ \ derecho) \cdot\gcd\left(
\dfrac{a}{n},\dfrac{d}{m}\right) \cdot\gcd\left( \dfrac{c}{n},\dfrac{b}
{m}\right) $.
Teorema 4 sea probado.
Este no es probablemente la más simple o la más corta de la prueba, pero la más fácil
escribir (me tomó casi sin foco y muy poco de edición, sólo un montón de
copiar y pegar). Los molestos cálculos en la prueba del Lema 3 podría tener
se ha simplificado el uso ideal de la notación, pero no sé si tiene este
de fondo. Sin duda hay una alternativa a prueba mediante la comparación de los exponentes de los números primos, pero mi tipo de argumento se generaliza mejor. Por ejemplo, el Lema de los 3 de arriba puede ser directamente generalizada a la siguiente resultado:
Lema 5. Deje $A$ ser un anillo conmutativo. Vamos $X$, $Y$, $Z$ y $W$ ser cuatro los ideales de $A$ tal que $X+Z=A$$Y+W=A$. A continuación, $XY+ZW = \left(Y+Z\right)\left(X+W\right)$.
Lema 3 puede ser recuperado a partir Lema 5 mediante el establecimiento de $A = \mathbb Z$, $X = x \mathbb Z$, $Y = y \mathbb Z$, $Z = z \mathbb Z$ y $W = w \mathbb Z$. La prueba me dio por Lema 3 es esencialmente una prueba de Lema 5, artificialmente restringida para el caso de las principales ideas en $\mathbb Z$. Teorema 4 es difícil generalizar, ya que no es claro cuál es el análogo de (por ejemplo) $\dfrac{a}{n}$ es por los ideales; pero dado que es un corolario del Lema 3, un punto puede ser hecha en favor de la relación Lema 3 como el principal teorema.
